在数学中，某个序列的母函数(Generating function，又称生成函数)是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：
1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来”
2.“母函数的思想很简单 — 就是把离散数列和幂级数一 一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “
我们首先来看下这个多项式乘法：
母函数图(1)
由此可以看出:
1.x的系数是a1,a2,…an 的单个组合的全体。
2. x^2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。
………
n. x^n的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。
进一步得到：
母函数图(2)
母函数的定义
对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：
母函数图(3)
称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数。
这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：
第一种：
有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
考虑用母函数来解决这个问题：
我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：
1个1克的砝码可以用函数1+1*x^1表示，
1个2克的砝码可以用函数1+1*x^2表示，
1个3克的砝码可以用函数1+1*x^3表示，
1个4克的砝码可以用函数1+1*x^4表示，
上面这四个式子懂吗？
我们拿1+x^2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示砝码的重量！初始状态时，这里就是一个质量为2的砝码。
那么前面的1表示什么？按照上面的理解，1其实应该写为：1*x^0,即1代表重量为2的砝码数量为0个。
所以这里1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2，即表示2克的砝码有两种状态，不取或取，不取则为1*x^0，取则为1*x^2
不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：
“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来“
接着讨论上面的1+x^2，这里x前面的系数有什么意义？
这里的系数表示状态数(方案数)
1+x^2，也就是1*x^0 + 1*x^2，也就是上面说的不取2克砝码，此时有1种状态；或者取2克砝码，此时也有1种状态。(分析！)
所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)
=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）
例如右端有2^x^5 项，即称出5克的方案有2种：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故称出6克的方案数有2种，称出10克的方案数有1种 。
接着上面，接下来是第二种情况：
第二种：
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：
大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。
母函数图(4)
以展开后的x^4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4；
即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
这里再引出两个概念"整数拆分"和"拆分数"：
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。
整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。
现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：
/*
n表示要求的x^n的系数
所以大于n的x^n+1就不用求了
k+=i i表示每个括号里面x次数的递增次数
c2[j+k] += c1[j] 表示 括号和括号里面的函数相乘x的j+k次数的值
因为函数相乘j+k的次数会出现多次所以用+=；
c2用来存储的临时变量
下面代码为无限性
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int c1[1000], c2[1000];
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i <= n; i++) {//第一个括号里面函数的系数
c1[i] = 1;
c2[i] = 0;
}
for (int i = 2; i <= n; i++){
//从第二个括号里面开始 第一个函数和第二个函数合并
for (int j = 0; j <= n; j++) {//j表示函数的项
for(int k = 0; j+k<=n; k+=i) {
c2[j+k] += c1[j];
}
}
for(int j = 0; j <= n; j++) {
c1[j] = c2[j];
c2[j] = 0;
}
}
printf("%d
", c1[n]);
}
例题
hdu
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398
http://www.cnblogs.com/a863886199/p/7818960.html
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085
http://www.cnblogs.com/a863886199/p/7818963.html
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2189
http://www.cnblogs.com/a863886199/p/7818955.html
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028
http://www.cnblogs.com/a863886199/p/7818953.html
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