【NOIP2016】天天爱跑步

题目描述

小c同学认为跑步非常有趣,于是决定制作一款叫做《天天爱跑步》的游戏。«天天爱跑步»是一个养成类游戏,需要玩家每天按时上线,完成打卡任务。

这个游戏的地图可以看作一一棵包含 $n$ 个结点和 $n-1$ 条边的树, 每条边连接两个结点,且任意两个结点存在一条路径互相可达。树上结点编号为从 $1$ 到 $n$ 的连续正整数。

现在有 $m$ 个玩家,第 $i$ 个玩家的起点为 $S_i$ ,终点为 $T_i$ 。每天打卡任务开始时,所有玩家在第 $0$ 秒同时从自己的起点出发, 以每秒跑一条边的速度, 不间断地沿着最短路径向着自己的终点跑去, 跑到终点后该玩家就算完成了打卡任务。 (由于地图是一棵树, 所以每个人的路径是唯一的)

小C想知道游戏的活跃度, 所以在每个结点上都放置了一个观察员。在结点 $j$ 的观察员会选择在第 $W_j$ 秒观察玩家, 一个玩家能被这个观察员观察到当且仅当该玩家在第 $W_j$ 秒也理到达了结点 $j$ 。小C想知道每个观察员会观察到多少人?

注意: 我们认为一个玩家到达自己的终点后该玩家就会结束游戏, 他不能等待一段时间后再被观察员观察到。即对于把结点 $j$ 作为终点的玩家: 若他在第 $W_j$ 秒重到达终点,则在结点 $j$ 的观察员不能观察到该玩家;若他正好在第 $W_j$ 秒到达终点,则在结点 $j$ 的观察员可以观察到这个玩家。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数 $n$ 和 $m$ 。其中 $n$ 代表树的结点数量, 同时也是观察员的数量, $m$ 代表玩家的数量。

接下来 $n- 1$ 行每行两个整数 $u$ 和 $v$ ,表示结点 $u$ 到结点 $v$ 有一条边。

接下来一行 $n$ 个整数,其中第 $j$ 个整数为 $W_j$ , 表示结点 $j$ 出现观察员的时间。

接下来 $m$ 行,每行两个整数 $S_i$ ,和 $T_i$ ,表示一个玩家的起点和终点。

对于所有的数据,保证 $1leq S_i,T_ileq n, 0leq W_jleq n$ 。

输出格式：

输出1行 $n$ 个整数,第 $j$ 个整数表示结点 $j$ 的观察员可以观察到多少人。

输入输出样例

输入样例#1：

6 3
2 3
1 2 
1 4 
4 5 
4 6 
0 2 5 1 2 3 
1 5 
1 3 
2 6

输出样例#1：

2 0 0 1 1 1

输入样例#2：

输出样例#2：

1 2 1 0 1

说明

【样例1说明】

对于1号点， $W_i=0$ ，故只有起点为1号点的玩家才会被观察到，所以玩家1和玩家2被观察到，共有2人被观察到。

对于2号点，没有玩家在第2秒时在此结点，共0人被观察到。

对于3号点，没有玩家在第5秒时在此结点，共0人被观察到。

对于4号点，玩家1被观察到，共1人被观察到。

对于5号点，玩家1被观察到，共1人被观察到。

对于6号点，玩家3被观察到，共1人被观察到。

【子任务】

每个测试点的数据规模及特点如下表所示。提示: 数据范围的个位上的数字可以帮助判断是哪一种数据类型。

题解：

这是一道比较有趣的树上统计题，并没有什么高级算法，只是思想巧妙：

用的大概是一种差分思想，是用桶实现的.（即t[i]表示深度为i的点的个数）

我们要将跑的过程转化成计算对一个点有贡献的路径的个数

于是我们可以开始讨论.

我们先看一条路径s-t：

1.先是从下往上（s-lca）跑，如果对一个点i有贡献仅当deep[i]+w[i]=deep[s]时.

且对于每一个点，deep[i]+w[i]是定值.所以我们把所有路径的S打上标记，

然后按照dfs序遍历，如果一个点x有标记就把t[deep[x]]+=mark[x].

然后每一个点都做同样的操作：ans[x]+=t[deep[i]+w[i]].

2.然后是lca-t，如果满足L-deep[t]=w[i]-dep[i]时可产生贡献，同样在终点t打上++标记，

然后再回溯的回程中就会把t-lca有贡献的点都统计完考虑到等式两边都有可能产生负数，

于是就把数组偏移一个N,即所有的访问和标记都+N

3.考虑到子树之间和子树对父节点以上节点统计的影响我们要在lca处打上标记，消除对父节点以上节点的影响

然后进入下一层dfs之前要保存t[i]的值，设为pre,那么答案就为回溯以后的t[i]-pre.

4.然后调样例的时候会发现如果lca满足统计条件会被统计两次，于是最后的时候需要减掉重复情况

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cmath>
  4 #include<cstring>
  5 #include<vector>
  6 using namespace std;
  7 const int N=319998,P=300001;
  8 int gi(){
  9     int str=0;char ch=getchar();
 10     while(ch>'9' || ch<'0')ch=getchar();
 11     while(ch>='0' && ch<='9')str=str*10+ch-'0',ch=getchar();
 12     return str;
 13 }
 14 vector<int>q1[N],q2[N],q3[N];
 15 int n,m,head[N],w[N],num=0,maxdep=0;
 16 struct Lin{
 17     int next,to;
 18 }a[N*2];
 19 int Head[N],NUM=0;
 20 struct Linn{
 21     int next,to,id;
 22 }e[N*2];
 23 struct Path{
 24     int s,t,dis,lca;
 25 }q[N];
 26 int fa[N],dep[N];bool vis[N];
 27 int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
 28 void init(int x,int y){a[++num].next=head[x];a[num].to=y;head[x]=num;a[++num].next=head[y];a[num].to=x;head[y]=num;}
 29 void init2(int x,int y,int idd){e[++NUM].next=Head[x];e[NUM].to=y;e[NUM].id=idd;Head[x]=NUM;e[++NUM].next=Head[y];e[NUM].to=x,e[NUM].id=idd;Head[y]=NUM;}
 30 void tarjan(int x,int last)
 31 {
 32     int u,v,lca;
 33     vis[x]=true;
 34     if(dep[x]>maxdep)maxdep=dep[x];
 35     for(int i=head[x];i;i=a[i].next)
 36     {
 37         u=a[i].to;
 38         if(u==last)continue;
 39         dep[u]=dep[x]+1;tarjan(u,x);fa[u]=x;
 40     }
 41     for(int i=Head[x];i;i=e[i].next)
 42     {
 43         v=e[i].to;
 44         if(vis[v])
 45         {
 46             lca=find(v);
 47             q[e[i].id].lca=lca;
 48             q[e[i].id].dis=dep[v]+dep[x]-(dep[lca]<<1);
 49         }
 50     }
 51 }
 52 int t[N],ans[N],tt[N*2],mark[N];
 53 void dfs1(int x,int last)
 54 {
 55     int u,now=dep[x]+w[x],pre=0;
 56     if(now<=maxdep)pre=t[now];
 57     for(int i=head[x];i;i=a[i].next){
 58         u=a[i].to;
 59         if(u==last)continue;
 60         dfs1(u,x);
 61     }
 62     t[dep[x]]+=mark[x];
 63     if(now<=maxdep)ans[x]+=t[now]-pre;
 64     int size=q1[x].size();
 65     for(int i=0;i<size;i++)t[q1[x][i]]--;
 66 }
 67 void dfs2(int x,int last)
 68 {
 69     int u,now=w[x]-dep[x]+P,pre=tt[now];
 70     for(int i=head[x];i;i=a[i].next){
 71         u=a[i].to;
 72         if(u==last)continue;
 73         dfs2(u,x);
 74     }
 75     int size=q2[x].size();
 76     for(int i=0;i<size;i++)tt[q2[x][i]]++;
 77     ans[x]+=tt[now]-pre;
 78     size=q3[x].size();
 79     for(int i=0;i<size;i++)tt[q3[x][i]]--;
 80 }
 81 int main()
 82 {
 83     n=gi();m=gi();
 84     int x,y;
 85     for(int i=1;i<n;i++){
 86         x=gi();y=gi();
 87         init(x,y);
 88     } 
 89     for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=gi(),fa[i]=i;
 90     for(int i=1;i<=m;i++)
 91     {
 92         q[i].s=gi();q[i].t=gi();
 93         init2(q[i].s,q[i].t,i);
 94     }
 95     dep[1]=1;
 96     tarjan(1,1);
 97     for(int i=1;i<=m;i++)
 98     {
 99         mark[q[i].s]++;
100         q1[q[i].lca].push_back(dep[q[i].s]);
101     }
102     dfs1(1,1);
103     for(int i=1;i<=m;i++)
104     {
105         q2[q[i].t].push_back(q[i].dis-dep[q[i].t]+P);
106         q3[q[i].lca].push_back(q[i].dis-dep[q[i].t]+P);
107     }
108     dfs2(1,1);
109     for(int i=1;i<=m;i++)if(w[q[i].lca]+dep[q[i].lca]==dep[q[i].s])ans[q[i].lca]--;
110     for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",ans[i]);
111     return 0;
112 }