补充说明
海涅-波莱尔
在数学分析中, 海涅-博雷尔定理(Heine-Borel theorem)或有限覆盖定理, 博雷尔-勒贝格定理(Borel-Lebesgue theorem), 以爱德华·海涅(英语：Eduard Heine) 和埃米尔·博雷尔命名, 断言：
对于欧几里得空间(mathbb{R}^{n})的子集(S), 下列两个陈述是等价的:
(S)是闭合并且有界的;
所有(S)的开覆盖有有限子覆盖, 就是说(S)是紧致的.
在实分析的文章中, 前面性质有时用做紧致性的定义性质. 但是在考虑更一般的度量空间的子集的时候这两个定义就不再等价了, 在这种一般情况下只有后者还用于定义紧致性. 事实上, 对任意度量空间的
Heine-Borel定理:度量空间的子集是紧致的, 当且仅当它是完备的并且完全有界的.
开集, 闭集
开集定义：设(G)是直线上的一个非空点集, 如果(G)中每一点都是(G)的内点, 称(G)为开集.
(1)规定空集是开集, 全直线是开集;
(2)任意一族开集的并是开集;
(3)有限个开集的交集是开集.
构成区间：设(G)是直线上的开集, 如果开区间((a, b)subset G), 而且端点(a, b)不属于(G), 那么称其为(G)的一个构成区间.
开集的构造： 直线上任意一个非空开集可以表示成有限个或者可列个互不相交的构成区间的并集, 又当非空开集互不相交的开区间的并集时, 这些开区间必是构成区间.
极限点：设(A)是实数直线上的点集, (x_{0})是直线上的一点(可以属于(A), 也可以不属于), 如果在(x_{0})的任何一个邻域((alpha, eta))中, 总含有集(A)中不同于(x_{0})的点, 即(ig((alpha, eta)-{x_{0}}ig)cap A eqemptyset). 那么称(x_{0})是(A)的极限点.
显然, 一个点集的内点都是这个点集的极限点, 极限点的定义有如下等价：
引理1： 设(A)是实数直线上的一个点集, (x_{0})是直线上的一点, 那么下面三件事是等价的：
(1) (x_{0})的任何一个邻域((alpha,eta))中必含有(A)中的无限多点.
(2) (x_{0})是(A)的极限点.
(3) (A)中存在点列({x_{n}},x_{n}
eq x_{0}(n=1,2,...)), 而且(x_{n} o x_{0}).
和极限点对应的是孤立点.
孤立点：设(A)是实数直线上的一个点集, (x_{0}in A), 如果(x_{0})的一个邻域((alpha,eta)), 其中除(x_{0})外不含有(A)的点, 即([(alpha,eta)-{x_{0}}]cap A=emptyset), 那么称(x_{0})是(A)的孤立点, 如果不空的点集(A)的每一点都是孤立点, 则称(A)为孤立点集.
显然, 点集(A)的孤立点不能是极限点, 极限点不能是孤立点. 因此(A)的内点不是孤立点, 从定义知道, 对于直线上的点集(A)中任何一点(x_{0}), 如果(x_{0})不是集(A)的极限点, 那么必是(A)的孤立点.
空集没有孤立点.
有限点集或者发散到无穷远的点列所成的点集都没有极限点, 所以是孤立点集.
以(R_{0})表示区间[0,1]中的有理数全体, 那么区间[0,1]中任何一点都是(R_{0})的极限点, 除此之外, (R_{0})没有其他的极限点.
闭区间[0,1]的所有极限点全体就是它自身.
这些例子说明, 直线上点集的极限点的各种可能情况. (1),没有极限点. (2),一个点集的极限点可以都不属于这个点集. (3),一个点集的极限点可以一部分在这个点集, 另一部分不在, 甚至极限点比原来点集的点还多. (4),一个点集本身可能就是它的极限点全体.
闭集： 如果点集(A)的极限点全部属于(A), 即(A^{'}subset A), 称(A)为闭集.
因此, 如果(A)没有极限点, 那么(A)是闭集, 从而空集也是闭集, 容易看到闭区间也是闭集.
定理2： 点集(A)为闭集的充分必要条件是, 集(A)中任何一个收敛点列必收敛于(A)中的某一点.
定理3： 点集(A)成为闭集的充要条件是, (A)的补集(A^{c})是开集.
定理4：
(1), 空集和全直线是闭集;
(2), 任意一族闭集的交集是闭集;
(3), 有限个闭集的并是闭集.
闭集的构造}：直线上的闭集(F)或是全直线, 或是从直线上挖掉有限个或可列个互不相交的开区间所得到的集. 直线上既开又闭的集合, 只有空集和全直线.
定理5： 开集减闭集的差集仍是开集, 闭集减开集的差集仍是闭集.
良序定理 在数学中, 良序定理(英语：Well-ordering theorem)表示“所有集合都可以被良序排序”. 这是非常重要的, 因为它使所有集合均适用于超限归纳法.
历史:
康托尔认为良序定理是“思维的基本原理”. 但是多数数学家发现, 想找如实数集合R这样的良序集合是困难的. 在1904年Julius König声称已经证明了这种良序不能存在. 几周之后, 费利克斯·豪斯多夫在他的证明中发现了一个错误. 接着恩斯特·策梅洛引入了“无可非议”的选择公理, 以证明良序定理. 事实上在一阶逻辑下, 良序定理等价于选择公理, 其中一个和策梅洛-弗兰克尔集合论一起即可证明另一个；在二阶逻辑下良序定理略强于选择公理.
良序定理可给出似乎是悖论的推论, 比如巴拿赫-塔斯基悖论.
基数
亦称势. 公理集合论的基本概念之一. 是度量集合大小的量. 在德国数学家康托尔(G. Cantor)之前, 无穷只是一个很模糊的概念, 人们无法区分两个无穷集的大小. 1873年, 康托尔发现自然数集与实数集之间不存在一一对应的关系, 由此意识到可以用一一对应作为度量无穷集合大小的尺度. 他把集合的大小称为集合的势, 记为(x^{=}), (x)为一集合. 并且他定义, 若集合A与集合B之间可建立一一对应关系, 则称A与B等势, 记为A(approx)B. 然而康托尔对势没有作非常严格的定义, 而将集合的势定义为从集合中抽去元素特性及顺序特性得出的一般概念. 德国数学家、数理逻辑学家弗雷格(G. Frege)与英国数理逻辑学家罗素(B. A. W. Russell)将集合的基数(势)定义为在等势关系下该集合所在的等价类. 这一定义虽然比较严格, 但这样定义的基数不是ZF公理集合论中集合的基数. 在ZF公理集合论中, 按如下方法定义集合x的基数(|x|)：
- 若x是可良序化的, 则定义(|x|)为最小的与x等势的序数.
- 若不然, 则定义(|x|)为与x等势的真类中所有具有最小秩的元素的全体所组成的集合.
如果某个集合的基数是a, 则如此定义的基数满足(|x|=|y|), 当且仅当(xapprox y). 定义1是由美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼(J. von Neumann)于1928年引入的；定义2则是上述弗雷格与罗素思想的翻版. 如果存在从集合x到y的单射, 则定义(|x|leq|y|). 如果(|x|leq|y|)且(|y|leq|x|), 则(|x|=|y|). 这就是著名的康托尔-伯恩施坦定理. 对于任意的集合(x)和(y), 有(|x|leq|y|)或者(|y|leq|x|), 当且仅当选择公理成立. 可良序化的集合的基数称为良序基数. 每一个良序基数都是序数. 因此, 若设定某一选择公理, 则每一个基数都是序数. 对任意的序数(alpha), 存在大于(alpha)的最小良序基数, 记为(alpha^{+}). 由此可见, 所有的良序基数构成序数全域的一个无界的子类, 即为真类. 因此, 可以定义一个从序数全域到所有无穷良序基数构成的真类上的保序映射, 使得(forall alpha<eta (aleph(alpha)<aleph(eta))), 式中(aleph)读做“阿列夫”. 还常用(aleph_{alpha})代替(aleph(alpha)), 表示第(alpha)个无穷良序基数, 用(omega_{alpha})表示(aleph(alpha))的序型, 故(aleph_{0}=omega_{0}=omega), (aleph_{alpha+1}=omega_{alpha+1}=aleph^{+}_{alpha}). 若(alpha)为极限序数, 则 (aleph_{alpha}=omega_{alpha}=sup{omega_{ ho}| hoinalpha}). (aleph_{alpha})是极限基数, 当且仅(alpha)是极限序数.
选择公理
考虑问题, 是否存在两个无理数(a, b)使得(a^{b})是有理数？是的, 下面一个优美地回答. 令(x=sqrt{2}^{sqrt{2}}.) 如果(x)已是一个有理数, 则得到所需的例子; 但是, 如果(x)不是有理数, 而是无理数, 则令(a=x=sqrt{2}^{sqrt{2}}, b=sqrt{2}), 则(a^{b}=2), 就又得到了一个例子.
现在的这个论证肯定已经确定了有这样的可能, 即(a, b)是无理数, 但(a^{b})是有理数. 然而这个证明有一个非常有趣的特点：它是{fseries 非构造性的}, 就是说, 它并没有明确指出哪两个无理数能行.
这样一种论证一直让哲学家和倾向于哲学的数学家烦心, 但是就主流数学而言, 它是一个完全被接受的重要类型的推理方法. 形式地说, 我们是在求助于“排中律”. 我们已经证明了某个命题的否定不可能为真, 由此导出这个命题本身必定为真. 对于以上证明的典型反应, 并不是说它在哪种意义下不行, 而是它的非构造本性让人惊奇.
然而, 面对着这样一个非构造的证明. 很自然地会去间, 能否找到构造性的证明. 说到底, 一个实实在在的构造会使我们对这个命题有更多的洞察. 这一点很重要, 因为我们去证明一件事情. 不仅是为了确知它为真, 而想对于它{fseries 为什么}为真有一点概念, 当然, 要找一个构造性证明并不是因为非构造性的证明不对, 而只是有一个构造性的证明可以提供更多信息.
选择公理：是从一些集合做出其他集合的几个规则之一 . 这种规则的两个典型例子是下面的命题:对于任意的集合(A), 可以作出其一切子集合的集合, [ 称为(A)的幂集], 还有对于任意的集合(A)和任意的性质(p), 可以作出(A)中的所有具有性质(p)的元素的集合(这两条规则分别叫做幂集公理和概括公理). 粗略地说. 选择公理说的就是允许我们在作出个新集合的时候作任意多次未加特别说明的选择.
和其他公理一样, 选择公理可能看起来是那么自然. 以至于我们在使用它的时候还不觉得正在用它. 真正的情况也是. 在它第一次被形式地陈述以前, 许多数学家都用过它了. 为了对于它说的是什么有所了解, 我们来看一下 大家知道的可数集合的可数族之并仍是可数集合的证明. 这个族为可数的事实, 使我们能把它们列成一个单子(A_{1}, A_{2},...)然后. 每一个单个的集合(A_{n})也可数这一事实, 又使我们能把它的元素列成一个单子(a_{n1}, a_{n2},...)最后, 找一个系统的方法把所有的元素(a_{nm})都数遍. 就完成了证明.
在这个证明里而, 我们确实做了无数次未经特别说明的选择. 我们被告知, 每个(A_{n})都是可数的. 然后就对(A_{n})的元素“选择”了一个单子, 而未特别说明是怎么选的. 进一步, 因为绝对没有对我们说明过这些(A_{n}), 所以当然也不可能说明是怎样把它们排列成一个单子的. 这一点并没 有使证明失效, 但是它确实说明这个证明是非构造性的(注意, 如果确实告诉了我们这些集合(A_{n})究竟是什么, 就很可能说明怎样把它的元素列成单子这样就对这些集合之井为数集合得出一个构造性的证明).
下面是另一个例子. 如果可以把个图的顶点分成两类(X)和(Y), 使得同一类的任意两个顶点都不能用这个图的一个边连接起来, 我们就说这个图是二分的(bipartite). 例如一个偶循环(就是排在一个圆周上的偶数个点而把相邻的点连接起来)就是二分的. 面没有-一个奇循环是二分的. 那么, 无数多个偶循环的不相交并集合是不是二分的?当然是的:把每一个循环(C)的顶点分成两类(X_{C})和(Y_{C}). 然后令所有(X_{C})之并为(X). 所有(Y_{C})之并为(Y) , 这样就行了. 但是对每一个(C). 我们选哪一个称为(X_{C}). 哪一个称为(Y_{C})呢？我们不能具体地说明这一一点所以, 我们又是应用了选择公理(只不过没有说罢了).
一般说来, 选择公理宣称:若给定一族非空集合(X_{i}). 则从每一个(X_{i})中, 可以选择一个元素(x_{i}). 更准确地说. 它宣称:若(X_{i})为非空集合, 而(i)是一个指标集合(I)的元, 则有一个定义在(I)上的函数(f), 使对所有的(i, f(i)in X_{i}) . 这个函数称为这个族的选择函数.
对于一个集合, 我们用不着任何单个的规则来做这件事. 事实上, 一个集合(X_{1})为非空这个命题, 就是[一个关于选择的]命题:存在(x_{1}in X_{1})(更形式的说法是: 映1为(x_{1})的函数. 就是这个仅含一个(X_{1})的集合之“族”的选择函数). 对于两个集合其实对于任意有限多个集合的族, 我们都可以用对于集合个数作归纳来证明选择函数的存在. 但是对于无限多的集合, 不能从其他的构造集合的规则来证明选择函数的存在.
为什么要对选择公理大惊小怪呢?主要的理由在于, 如果在某个证明中应用了选择公理. 则证明的那一部分就自动地是非构造的了. 这一点也就会反映在命题本身. 对于我们所用的其他规则, 例如“我们可以取两个集合之并”, 则断定其存在的那个集合是由它的性质唯一地确定的((u)是(Xcup Y)的元素, 当且仅当它是(X)或(Y)的元素, 或同时是二者的元素). 但是对于选择公理就不是这样, 断定其存在的对象(选择函数)并不是由它的性质唯一地指定的. 在典型情况下, 都有许多选择函数存在.
由于这个原因, 主流数学的一般观点是哪怕选择公理用得没有间题, 最好还是指明是应用了它, 以便提请注意. 这个证明是非构造性的.
一个其证明用到了选择公理的例子是巴拿赫塔斯基悖论. 这个悖论说有. 种方法把一个单位球体分成有限多子集合. 然后(用旋转、反射和平移)把这些子集合重新合并起来成为两个单位球体. 证明并未给出如何定义这些子集合.
人们有时说, 应用选择公理“令人不快", 或者说它的结果是“高度违反直观的", 但是在绝大多數情况下, 稍想一想就会发现, 这些结果并没有违反直观. 例如再考虑一下上. 述的巴拿赫塔斯基悖论. 为什么它看起来很奇怪, 似乎是悖论?这是因为我们觉得体积没有保持不变, 而事实上可以把这种感觉转变为严格的论据, 即这个分解所形成的子集合不可能都是可以有意义地赋予体积的那种集合. 但是这根本不是悖论. 对于一个好的集合, 例如多面体. 我们可以说清楚所谓体积是什么意思, 但是完全没有理由假设对于球体的所有子集合, 我们都能够有意义地定义其体积(有一个数学分支叫做测度论. 可以用来给很大一类子集合, 即可测集, 赋以体积, 但是完全没有理由相信所有的集合都是可测集, 而可以证明确实有不可测的集合存在, 不过这里又要用到选择公理).
选择公理在日常的数学生活里比上述的基本形式用得更多的还有两个形式. 其是良序原理. 它宣称所有的集合都可以良序. 另一个是佐恩引理. 它指出. 在一定条件下必有“最大”元素存在. 例如. 一个向量空间的基底就是最大的线性无关集合, 而结果是. 若对向量空间的线性无关集合的整体应用佐恩引理. 就可以证明每一个向量空间都有基底存在.
这两个命题都被说成是选择公理的形式, 是因为它们都等价于选择公理. 就是说, 在其他的构造集合的规则都存在的条件下, 它们的每一个都蕴含着选择公理, 也可以从选择公理导出. 要想看出为什么选择公理的这两个形式都有一种 非构造的感觉, 一个好办法是花上几分钟想-想怎样找出实数集合的良序, 或者找出有所有实数序列所成的向量空间的基底.
关于选择公理、特别是关于它与形式集合理论的其他公理的关系. 可以参看条目集合理论.
决定性公理：The Axiom of Determinacy
考虑以下的“无限博弈”. 有两个局中人A和B, 依次各给出一个自然数, 例如设A为先手. 这样, 他们就会作出一个自然数的无限序列. 如果这个序列是“最终周期的”, 则A胜, 否则B胜(一个最终周期序列就是像1, 56, 4, 5, 8, 3, 5, 8, 3, 5, 8, 3, 5, 8, 3 ...这样的序列, 经过一定步数以后就会停留在一个反复的模式上, 就像循环小数那样).不难看到, B有一个致胜策略, 因为最终周期序列是很特殊的. 然而,在博弈的任意阶段, A仍然可以制胜(只要B玩得足够糟糕), 因为每一个有限序列都是许多最终周期序列的开始的一段.
更一般地说, 自然数的无限序列的任意集合(S)都会给出一个无限博弈: A的目标是使得所得的序列是(S)的一个元素, B的目标则相反. 如果两个局中人之一有一个制胜策略, 就说这个博弈是决定性的. 我们已经看到, 如果(S)是所有最终周期序列的集合, 这个博弈一定是决定性的. 而实际上, 对于我们不论怎样来写出的(S), 相应的博弈也一定是决定性的. 但是结果是确有不是决定性的博弈存在(有一个很有教益的练习, 看一看下面的似乎正确的论据错在哪里:“如果A没有制胜策略, 就不能一定得胜, 所以B一定有制胜策略”).
不难作出非决定性的博弈, 但是构造这个博弈要用到选择公理如下: 粗略地说, 可以把所有可能的策略的集合良序化(良序原理是等价于选择公理的), 所以每一个前面的策略即前置元(predecessor)的个数总少于无限序列的个数, 把这样的序列放进(S)或其余集, 就使得每一个策略都不能成为任一个局中人的制胜策略, 决定性公理宣称, 每一个博弈都是决定性的. 它与选择公理矛盾, 但是如果把它加进没有选择公理的策墨罗-弗朗克尔公理系统, 它就是一个很有趣的公理. 例如, 它事实上蕴含了许多实数集合具有惊人的好性质, 例如所有的实数集合都是勒贝格可测集合. 决定性公理与大基数理论有密切关系, 详见条目集合理论.