解析函数的积分和Cauchy积分公式

定义2.3.1 设(f)是区域(Omega)上的连续函数，(g)在(Omega)上解析，若对任意的(zinOmega), 有(g'(z)=f(z),)则称(g(z))为(f(z))在(Omega)中的原函数或者不定积分.

定理2.3.2 如果(f(z))是区域(Omega)上的连续函数，(f(z))在(Omega)中有原函数(g(z), C:z=z(t)=x(t)+)i(y(t)~~~(alphaleq tleqeta))为分段光滑有向曲线, 以(a=z(alpha))为起点，(b=z(eta))为终点,全在区域(Omega)中，则

[int_C f(z)dz=g(b)-g(a). ]

这个定理可以称为牛顿-莱布尼兹公式.

定理2.3.3 如果(f(z))是区域(Omega)上的连续函数，则(f(z))在(Omega)中有原函数的充分必要条件是对全在区域(Omega)中的任意Jordan闭横竖折线(C)有

[int_C f(z)dz=0. ]

证明：由定理2.3.2，只需证明充分性. 固定(ainOmega), 设$$g(z)=int_{L_{z}}f(zeta)dzeta,$$
其中(L_z)是(Omega)中从(a)到(z)的横竖折线, 由Jordan闭横竖折线定理，(g(z))不依赖于(Omega)中从(a)到(z)的横竖折线的选取，从而(g(z))在(Omega)中有定义. 对任意的(z_0=x_0+iy_0inOmega), 存在(z_0)的邻域(D(z_,R)subsetOmega). 我们证明(g)在(z_0)点复可微, 且(g'(z_0)=f(z_0).)当(vartriangle z=vartriangle x+ivartriangle y, 0<|vartriangle z|<r)时,

[g(z_0+vartriangle z)-g(z_0)=int_{[z_0,z_0+vartriangle x]}f(zeta)dzeta+int_{[z_0+vartriangle x,z_0+vartriangle z]}f(zeta)dzeta, ]

于是$$g(z_0+vartriangle z)-g(z_0)-f(z_0)vartriangle z=vartriangle xvarepsilon_1(vartriangle z)+ivartriangle yvarepsilon_2(vartriangle z),$$
其中$$ varepsilon_1(vartriangle z)=int^1_0(f(z_0+tvartriangle x)-f(z_0))dt=o(1)~~~(vartriangle z o 0),$$

[varepsilon_2(vartriangle z)=int^1_0(f(z_0+tvartriangle x+itvartriangle y)-f(z_0))dt=o(1)~~~(vartriangle z o 0), ]

从而(g)在(z_0)点复可微, 且(g'(z_0)=f(z_0).) 由(z_0)的任意性可知, (g)在(Omega)处处复可微,且(g'(z)=f(z),) 所以(f(z))在(Omega)中有原函数.

推论2.3.4 (f(z))是区域(Omega)上的连续函数，如果对全在区域(Omega)中的任意Jordan闭横竖折线(C)，上式成立，则对全在区域(Omega)中的任意闭分段光滑曲线，式也成立.

定理2.3.5 (Goursat) 设(Omega)是一个单连通区域，(f(z))在(Omega)上解析，则 (f)在(Omega)中有原函数.

推论2.3.6 （单连通区域的Cauchy定理）设(Omega)是单连通区域，(f(z))在(Omega)上解析，则(f)在(Omega)中有原函数且对全在区域(Omega)中任意分段光滑闭曲线(C), (int_C f(z)dz=0.)

定理2.3.7 设(f(z))在单连通区域(Omega)上解析，(ainOmega),则(F(z)=int^z_a f(z)dz)在(Omega)上解析，且(F'(z)=f(z).)

定理2.3.8 设(f)在(z)平面上的单连通区域(Omega)内解析，若(Phi(z))为(f(z))在(Omega)内的任一原函数，则(int^b_a f(z)dz=Phi(b)-Phi(a).)

定理2.3.9 （Cauchy高阶求导公式） (Omega)是单连通区域，(C)是全含在(Omega)中的闭Jordan分段光滑曲线，(C)所围成的区域(W),若(f(z))在(Omega)解析，则(f(z_0)=frac{1}{2pi i}int_C frac{f(z)}{z-z_0} dz, z_0in W). (Cauchy 公式）

且对于正整数(m), (f)的(m)阶导数(f^{(m)}(z))在(Omega)中存在解析，且有如下高阶Cauchy公式：

[f^{(m)}(z_0)=frac{m!}{2pi i}int_{C}frac{f(z)dz}{(z-z_0)^{m+1}},z_0in W,minmathbb{N},$$其中$f^{(1)}(z)=f'(z),f^{(m)}(z)=frac{d}{dz}f^{(m-1)}(z),mgeq2,f^{(0)}(z)=f(z).$ #### 定理2.3.10 （解析函数的无穷可微性质）设$f(z)$在单连通区域$Omega$内解析，则$f(z)$在$Omega$内具有各阶导数，且它们在$Omega$内也解析。 #### 定理2.3.11 (Morera) 设$f(z)$在$Omega$上连续，如果对任意长方形$BoxsubsetOmega, int_{partialBox}f(z)dz=0$, 则$f(z)$在$Omega$上解析。证明：$forall z_0inOmega,$存在$D(z_0,r)subsetOmega$,证$f(z)$在$D(z_0,r)$上复可微。对$D(z_0,r)$中任意闭长方形，其边界是分段光滑曲线$C，int_C f(z)dz=0.$ $n=5$时也成立. 设定理$leq n$时成立， $int_C f(z)dz=0.$ 由定理2.3.3， $f(z)$在$D(z_0,r)$中有原函数$g(z)$, 且$g'(z)=f(z). g(z)$在$D(z_0,r)$解析，所以由定理2.3.9知道$g'(z)=f(z)$在$D(z_0,r)$中复可微，由$z_0$的任意性推出，$f(z)$在$Omega$上解析. #### 定理2.3.12 (Cauchy积分定理的推广) 设$C$是Jordan闭分段光滑曲线，$Omega$为$C$的内部, $f(z)$在闭区域$ar{Omega}=Omegacup C$上解析，则$int_C f(z)dz=0$ #### 定义2.3.13 n+1条Jordan分段光滑曲线: $C_0,C_1,cdots,C_n$, 其中后面n条的每一条在其余各条的外部，又都在$C_0$的内部. 在$C_0$内部同时又在$C_1,cdots,C_n$外部的点构成一个有界的多连通区域$Omega$, 以$C_0,C_1,cdots,C_n$为边界，称$Omega$的边界是一条复围线，记为$partialOmega=C_0+C_1^{-}+cdots+C_n^{-}$, 负号表示取负向，也就是观察者沿着$partialOmega$绕行时，$Omega$的点总在左手边. #### 定理2.3.14 （多连通的Cauchy定理）归纳法证明. #### 定理2.3.16 （解析函数的均值定理）设$f(z)$在圆盘$|z-z_0|<R$内解析，在$|z-z_0|leq R$闭圆盘上连续，则$f(z_0)=frac{1}{2pi i}int^{2pi}_{0}f(z_0+Re^{i heta})d heta.$ #### 定理2.3.17 (Cauchy不等式）设$f(z)$在区域$Omega$内解析，$a$为$Omega$中任一点，若$overline{D(a,R)}subsetOmega$, 则$|f^{(n)}(a)leqfrac{n!M(R)}{R^n},~~~ ninmathbb{N}.$ #### 整函数：在整个$mathbb{C}$平面上解析的函数，例如：多项式，指数函数，正余弦函数等. #### 定理2.3.18 （Liouville) 有界整函数必为常值函数. 证明：由题设，$exists M>0$, 使得$|f(z)|leq M,~~~forall zinmathbb{C}$. $forall ainmathbb{C},forall R>1, |f'(a)|leq M/R,$ 令$R oinfty, |f'(a)|=0, f(z)=C.$ #### 定理2.3.19 (最大模原理) $f(z)$在有界区域$Omega$内解析, 且连续到边界, 设$M=max{|f(z): zinar{Omega}}$, 则在$Omega$内有$|f(z)|<M$, 除非$f(z)=Me^{ialpha},M,alpha$是常数. 证明：如果存在$z_0inOmega$, 使得$|f(z_0)|=M$, 下证$f(z)$是常数. 令$D={zinOmega: |f(z)|=M},$ 则$D eqemptyset$. 因为$f(z)in C(ar{Omega}), ar{D}capOmega=D$.(根据连续性) 下证$D$是开集. $forall z_0in DsubsetOmega, exists D(z_0，r_0)subsetOmega,$ $$forall r>0,r<r_0, M=|f'(z_0)|=|frac{1}{2pi}int^{2pi}_{0}f(z_0+re^{i heta})d heta|leq frac{1}{2pi}int^{2pi}_{0}|f(z_0+re^{i heta})|d hetaleq M. ]

(|f(z_0)|=|f(z_0+re^{i heta})|).