字符串（后缀自动机）：NOI 2016 优秀的拆分

【问题描述】

  如果一个字符串可以被拆分为 AABB 的形式，其中 A 和 B 是任意非空字符串， 则我们称该字符串的这种拆分是优秀的。

  例如，对于字符串 aabaabaa，如果令 A = aab， B = a， 我们就找到了这个字符串拆分成 AABB 的一种方式。

  一个字符串可能没有优秀的拆分，也可能存在不止一种优秀的拆分。 比如我们令 A = a， B = baa，也可以用 AABB 表示出上述字符串；但是，字符串abaabaa 就没有优秀的拆分。

  现在给出一个长度为 n 的字符串 S，我们需要求出，在它所有子串的所有拆分方式中，优秀拆分的总个数。 这里的子串是指字符串中连续的一段。

    以下事项需要注意：

    1. 出现在不同位置的相同子串，我们认为是不同的子串，它们的优秀拆分均会被计入答案。

    2. 在一个拆分中，允许出现 A = B。例如 cccc 存在拆分 A = B = c。

    3. 字符串本身也是它的一个子串。

【输入格式】

每个输入文件包含多组数据。输入文件的第一行只有一个整数 T，表示数据 的组数。保证 1 ≤ T ≤ 10。

接下来 T 行，每行包含一个仅由英文小写字母构成的字符串 S，意义如题 所述。

【输出格式】

输出 T 行，每行包含一个整数，表示字符串 S 所有子串的所有拆分中， 总共有多少个是优秀的拆分。

【样例输入】

4
aabbbb
cccccc
aabaabaabaa
bbaabaababaaba

【样例输出】

3 5 4 7

【样例说明】

我们用 S[i, j] 表示字符串 S 第 i 个字符到第 j 个字符的子串（从 1 开 始计数）。

第一组数据中，共有 3 个子串存在优秀的拆分：

S[1,4] = aabb，优秀的拆分为 A = a， B = b；

S[3,6] = bbbb，优秀的拆分为 A = b， B = b；

S[1,6] = aabbbb，优秀的拆分为 A = a， B = bb。

而剩下的子串不存在优秀的拆分，所以第一组数据的答案是 3。

第二组数据中， 有两类，总共 4 个子串存在优秀的拆分：

对于子串 S[1,4] = S[2,5] = S[3,6] = cccc， 它们优秀的拆分相同，均为 A = c， B = c，但由于这些子串位置不同，因此要计算 3 次；

对于子串 S[1,6] = cccccc，它优秀的拆分有 2 种： A = c， B = cc 和 A = cc， B = c，它们是相同子串的不同拆分，也都要计入答案。

所以第二组数据的答案是 3 + 2 = 5。

第三组数据中， S[1,8] 和 S[4,11] 各有 2 种优秀的拆分，其中 S[1,8] 是 问题描述中的例子，所以答案是 2 + 2 = 4。

第四组数据中， S[1,4]， S[6,11]， S[7,12]， S[2,11]， S[1,8] 各有 1 种优秀 的拆分， S[3,14] 有 2 种优秀的拆分，所以答案是 5 + 2 = 7。

【更多样例】

下载

【样例 2 输入输出】

见目录下的 excellent/excellent2.in 与 excellent/excellent2.ans。

【样例 3 输入输出】

见目录下的 excellent/excellent3.in 与 excellent/excellent3.ans。

【子任务】

对于全部的测试点，保证 1 ≤ T ≤ 10。 以下对数据的限制均是对于单组输入数据而言的，也就是说同一个测试点下的 T 组数据均满足限制条件。

我们假定 n 为字符串 S 的长度，每个测试点的详细数据范围见下表：

【来源】

NOI2016 Day1 T1

　　这道题有点难想到正解。

　　枚举长度i，然后把字符串拆分成许多连续的长度为i的子串，通过比较LCS与LCP得出一段的答案，这里发现答案是区间加法，考虑用线段树很可能超时，这里用的是差分，看程序很好理解。还有一个地方要注意：更新答案时可能会重复计算，只需要确保每次枚举都只在一段限定的区间更新，就不会出现重叠。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=120010;
struct SAM{
    char s[N];
    int fa[N],pos[N],sa[N],rank[N];
    int son[N][26],end[N],rht[N],lcp[N];
    int ch[N][26],len[N],id[N],tot;
    int od[N],wv[N],lst,cnt;
    int mm[N],Min[N][25];
    void Init(){
        memset(s,0,sizeof(s)); 
        memset(ch,0,sizeof(ch));
        memset(end,0,sizeof(end));
        memset(son,0,sizeof(son));
        memset(pos,0,sizeof(pos));
        lst=cnt=1;tot=0;
    }

    void Insert(int c){
        int p=lst,np=lst=++cnt;end[lst]=1;
        id[len[np]=len[p]+1]=np;rht[np]=1;
        while(p&&!ch[p][c])ch[p][c]=np,p=fa[p];
        if(!p)fa[np]=1;
        else{
            int q=ch[p][c],nq;
            if(len[q]==len[p]+1)fa[np]=q;
            else{
                len[nq=++cnt]=len[p]+1;
                fa[nq]=fa[q];fa[q]=fa[np]=nq;
                memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q]));
                while(ch[p][c]==q)ch[p][c]=nq,p=fa[p];
            }
        }
    }

    void Get_Right(){
        for(int i=1;i<=cnt;i++)wv[len[i]]++;
        for(int i=1;i<=cnt;i++)wv[i]+=wv[i-1];
        for(int i=1;i<=cnt;i++)od[wv[len[i]]--]=i;
        for(int i=cnt;i>=1;i--)rht[fa[od[i]]]+=rht[od[i]];
    }

    void Build_Tree(){
        int l=strlen(s+1);
        for(int i=l;i>=1;i--)Insert(s[i]-'a');
        for(int i=l;i>=1;i--)
            for(int x=id[i],p=l+1;x&&!pos[x];x=fa[x])
                p-=len[x]-len[fa[x]],pos[x]=p;
        for(int x=2;x<=cnt;x++)son[fa[x]][s[pos[x]]-'a']=x;    
    }

    void DFS(int x,int l){
        if(end[x])sa[rank[l-len[x]+1]=++tot]=l-len[x]+1;
        for(int i=0;i<26;i++)if(son[x][i])DFS(son[x][i],l);
    }

    void Build_SA(){
        int l=strlen(s+1),k=0;DFS(1,l);
        for(int i=1,j;i<=l;lcp[rank[i++]]=k)
            for(k?k--:k,j=sa[rank[i]-1];s[i+k]==s[j+k];k++);
        mm[0]=-1;
        for(int i=1;i<=l;i++){
            mm[i]=(i&(i-1))?mm[i-1]:mm[i-1]+1;
            Min[i][0]=lcp[i];
        }
        for(int k=1;k<=mm[l];k++)
            for(int i=1;i+(1<<k-1)<=l;i++)
                Min[i][k]=min(Min[i][k-1],Min[i+(1<<(k-1))][k-1]);
    }
    
    int LCP(int x,int y){
        if(x>y)swap(x,y);x+=1;int k=mm[y-x+1];
        int ret=min(Min[x][k],Min[y-(1<<k)+1][k]);
        return ret; 
    }
}A,B;

int ln,T,f[N],g[N];char s[N];
int Get_LCP(int x,int y){return A.LCP(A.rank[x],A.rank[y]);}
int Get_LCS(int x,int y){return B.LCP(B.rank[ln-x+1],B.rank[ln-y+1]);} 

int main(){
    freopen("excellent.in","r",stdin);
    freopen("excellent.out","w",stdout);
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        A.Init();B.Init();
        scanf("%s",s+1);ln=strlen(s+1);
        for(int i=1;i<=ln;i++){A.s[i]=s[i];B.s[i]=s[ln-i+1];}
        A.Build_Tree();A.Build_SA();
        B.Build_Tree();B.Build_SA();
        for(int i=1;i<=ln;i++)f[i]=g[i]=0;
        
        for(int i=1,l,r,x;i+i<=ln;i++)
            for(int j=i;(x=j+i)<=ln;j+=i)if(s[j]==s[x]){
                l=x-Get_LCS(j,x)+1;r=x+Get_LCP(j,x)-1;
                l=max(l+i-1,x);r=min(r,x+i-1);
                if(l>r)continue;
                f[l]++,f[r+1]--;
                   g[l-i-i+1]++,g[r+1-i-i+1]--;
            }
        long long ans=0;
        for(int i=1;i<=ln;i++)f[i]+=f[i-1],g[i]+=g[i-1];
        for(int i=1;i<ln;i++)ans+=f[i]*g[i+1];
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}