BZOJ.4446.[SCOI2015]小凸玩密室(树形DP)

BZOJ
LOJ
洛谷


(下面点亮一个灯泡就说成染色了,感觉染色比较顺口...
注意完全二叉树( eq)满二叉树,点亮第一个灯泡( eq)第一次点亮一号灯泡,根节点应该就是(1)...

代价取决于下一次跳到哪个点,考虑记下这个状态,令(f[i][j])表示染完(i)这棵子树后下一次染(j)的最小花费,但是状态数是(O(n^2))的。
因为染色顺序很特殊,染完整棵(i)子树后下一步要么是染(i)的某个祖先,要么是染(i)的某个祖先的另一个儿子(除去(i)这棵子树外的另一棵子树)。同时树深是(O(log n))的,也就是一个点最多有(log n)个祖先。
所以我们记(f[i][j])表示染完(i)子树后,走到(i)(j)级祖先的最小花费;(g[i][j])表示染完(i)子树后,走到(i)(j)级祖先的另一个儿子处(即(i)(j)级祖先的兄弟节点)的最小花费。状态数是(O(nlog n))的。

考虑(f[i][j]/g[i][j])的转移。
如果(i)是叶子节点,那直接算一下走到对应节点的花费即可。
如果(i)只有左儿子,那走到左儿子再从左儿子走到对应节点即可。
否则(i)有两个儿子(l,r),要么是(i o l o r o i的对应祖先),要么是(i o r o l o i的对应祖先),取个(min)即可。
DP的复杂度也是(O(nlog n))的。

然后怎么统计以(x)作为起点的答案?
注意到一定是染完(x)子树,然后跳到(fa[x]),染(fa[x])的另一棵子树(如果有);然后跳到(fa[fa[x]]),染(fa[fa[x]])的另一棵子树...重复这个过程。
每次跳(fa),用DP数组统计一下花费就好了。总复杂度也是(O(nlog n))

注意是用dep[1]等于(1)来得到dep的(因为要算(g[i][j]),表示(j)级祖先的另一个儿子!)。


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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
//#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
#define fa(x) (x>>1)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define Anc(x,j) (x>>j)//x的j级祖先 
#define Bro(x,j) ((x>>j-1)^1)//x的j级祖先的另一个儿子 
typedef long long LL;
const int N=2e5+5,BIT=18;

int A[N],dep[N],dis[N][BIT];
LL f[N][BIT],g[N][BIT];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
	return now;
}

int main()
{
	const int n=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read();
	dep[1]=1;
	for(int x=2; x<=n; ++x)
	{
		dep[x]=dep[fa(x)]+1, dis[x][1]=read();
		for(int j=2; j<=dep[x]; ++j)
			dis[x][j]=dis[fa(x)][j-1]+dis[x][1];
	}
	for(int x=n; x; --x)
	{
		int l=lson(x),r=rson(x);
		for(int j=1; j<=dep[x]; ++j)
			if(r<=n)
			{
				f[x][j]=std::min(1ll*A[l]*dis[l][1]+g[l][1]+f[r][j+1],1ll*A[r]*dis[r][1]+g[r][1]+f[l][j+1]);
				g[x][j]=std::min(1ll*A[l]*dis[l][1]+g[l][1]+g[r][j+1],1ll*A[r]*dis[r][1]+g[r][1]+g[l][j+1]);
			}
			else if(l<=n)
			{
				f[x][j]=1ll*A[l]*dis[l][1]+f[l][j+1];
				g[x][j]=1ll*A[l]*dis[l][1]+g[l][j+1];
			}
			else f[x][j]=1ll*dis[x][j]*A[Anc(x,j)], g[x][j]=1ll*(dis[x][j]+dis[Bro(x,j)][1])*A[Bro(x,j)];
	}
	LL ans=1ll<<61;
	for(int i=1; i<=n; ++i)
	{
		LL now=f[i][1];
		for(int x=fa(i),las=i; x; las=x,x=fa(x))
		{
			int y=las^1;
			if(y<=n) now+=1ll*dis[y][1]*A[y]+f[y][2];
			else now+=1ll*dis[x][1]*A[fa(x)];
		}
		ans=std::min(ans,now);
	}
	printf("%lld
",ans);

	return 0;
}
原文地址:https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/10415443.html