51nod 1183 编辑距离【线性dp+类似最长公共子序列】

1183 编辑距离

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 0 难度：基础题

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编辑距离，又称Levenshtein距离（也叫做Edit Distance），是指两个字串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。

例如将kitten一字转成sitting：

sitten （k->s）

sittin （e->i）

sitting （->g）

所以kitten和sitting的编辑距离是3。俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。

给出两个字符串a,b，求a和b的编辑距离。

Input

第1行：字符串a(a的长度 <= 1000)。
第2行：字符串b(b的长度 <= 1000)。

Output

输出a和b的编辑距离

Input示例

kitten
sitting

Output示例

【分析】：

设dp[i][j]代表a字符串前i个变形 b字符串前j个最小操作步数；

此题类型和求两字符串最长公共子序列有相同部分，但最长公共序列对相同字符位置没有要求，但在此题中则是解题关键，

若两位置相同，则不需任何操作，但若两相同部分之间相错n位，则需增加n次操作,同时还要考虑最优解；

同时dp[i][0]=dp[0][i]=i;

(1) 必须 S[i] == T[j], 这时前i – 1和j – 1位都已经对齐了，这部分肯定要最少扣分。这种情况下最少的扣分是dp(i-1,j-1)
(2) 和（1）类似，S[i]≠T[j]，这种情况下最少的扣分是dp(i - 1, j – 1) + 1
(3) S的前i位和T的前（j – 1）位已经对齐了，这部分扣分也要最少。这种情况下最少的扣分是dp(i, j - 1) + 1
(4) S的前(i - 1)位已经和T的前j位对齐了，这部分扣分要最少。这种情况下最少的扣分是dp(i - 1, j) + 1

这样就能得到状态转移方程：

dp(i,j) = min(dp(i – 1, j – 1) + ( S[i] == T[j] ? 0:1 ), dp(i – 1,j ) + 1, dp(i, j – 1) + 1)

【代码】：

#include <bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
const int AX = 1e3+66;  
  
int dp[AX][AX];  
char a[AX];  
char b[AX];  
  
int main(){   
    while(~scanf("%s%s",a,b)){  
        memset(dp,0,sizeof(dp));  
        int n = strlen(a);  
        int m = strlen(b);  
        for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ){  
            dp[i][0] = i;  
        }  
        for( int j = 1 ; j <= m ; j++ ){  
            dp[0][j] = j;  
        }  
        for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ){  
            for( int j = 1 ; j <= m ;j++ ){  
                if( a[i-1] != b[j-1] )  
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])) + 1;  
                else dp[i][j] = dp[i-1][j-1];  
            }  
        }  
        printf("%d
",dp[n][m]);  
    }  
    return 0;  
}

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