【题目描述】
A君有 $n$ 个盒子,每个盒子被一把锁锁着,每个盒子内都有一把钥匙。对于每个盒子而言有且仅有一把钥匙能打开锁着它的锁,而打开它后便能拿着放置在这个盒子内的钥匙去开启其他盒子。
现在A君打算随机选择 $k$ 个盒子并用魔法将它们打开,并用所得到的钥匙去尝试开启其他所有的盒子 $f$ 开启一个盒子后,新得到的钥匙还能继续尝试使用)。
A君想知道,最终他能打开所有盒子的概率是多少,请你帮助他。
【输入格式】
第一行一个整数 $T$ 表示数据组数。
每组数据第一行两个整数 $n,k$,意义见题目描述。
第二行 $n$ 个整数 $a_i$,表示第i个盒子中装有可以打开第 $a_i$ 个盒子的锁的钥匙。
【输出格式】
对于每组数据输出一行表示答案,要求绝对误差不超过4位小数。
【样例】
样例输入
4
5 1
2 5 4 3 1
5 2
2 5 4 3 1
5 3
2 5 4 3 1
5 4
2 5 4 3 1
样例输出
0.000000000
0.600000000
0.900000000
1.000000000
【数据范围与提示】
【题解】
又是一道玄学+信仰题。。。
推概率 $dp$ 推了好久没推出来,直接写了个算方案数的,用 $long double$ 存就过了。。。
由于对精度要求不高,所以只用 $long double$ 存前几位有效位的正确性是有保证的。。。
观察题目,不难发现题意就是给你 $n$ 个点构成许多环,求随机选 $k$ 个点覆盖所有环的概率。
考虑 $dp$,设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个环总共选了 $j$ 个数的方案数,转移时枚举当前环选了几个数,乘上组合数即可。
分析一下效率,第一层循环枚举环和第三层循环枚举选了几个数合在一起是 $O(n)$ 的,因为环的大小总和为 $n$,而第二层循环是 $O(k)$ 的,总复杂度 $O(Tnk)$。
【代码】
#include<bits/stdc++.h> inline int read ( void ) { int x=0;char ch;bool f=true; while ( !isdigit(ch=getchar()) ) if ( ch=='-' ) f=false; for ( x=ch^48;isdigit(ch=getchar()); ) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); return f ? x : -x ; } int n,k,A[310];bool vis[310]; long double C[310][310],f[310][310]; std::vector<int> B; signed main() { for ( int i=0;i<=300;i++ ) { C[i][0]=1; for ( int j=1;j<=i;j++ ) C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1]; } for ( int T=read();T--; ) { for ( int i=1;i<=n;i++ ) vis[i]=false; B.clear();memset(f,0,sizeof(f)); n=read();k=read(); for ( int i=1;i<=n;i++ ) A[i]=read(); for ( int i=1;i<=n;i++ ) if ( !vis[i] ) { int cnt=1;vis[i]=true; for ( int x=A[i];x!=i;x=A[x] ) cnt++,vis[x]=true; B.push_back(cnt); } if ( k<(int)B.size() ) { puts("0.000000000");continue; } std::sort(B.begin(),B.end()); if ( k>=n-B[0]+1 ) { puts("1.000000000");continue; } f[0][0]=1; for ( int i=1;i<=(int)B.size();i++ ) for ( int j=i;j<=k;j++ ) for ( int x=1;x<=j-i+1 and x<=B[i-1];x++ ) f[i][j]+=f[i-1][j-x]*C[B[i-1]][x]; printf("%.9LF ",f[(int)B.size()][k]/C[n][k]); } }