T3 AT5618 [AGC039D] Incenters
在平面中给定n个位于单位圆上的点，坐标形如((cosfrac{2pi T_i}{L},sinfrac{2pi T_i}{L}))，等概率随机地选取其中不同的三个点组成三角形，求三角形的内心（即，内切圆的圆心）的横纵坐标期望。
$3le n le 3000, n le L le 10^9, 0le T_i< L, T_ile T_{i+1} $.
solution
Get 一个数学知识点，方便退役之后用。。。QAQ
但是证明在这儿
我这儿只有结论，相信你们那么巨，推一推就出来了。
结论
- 一个三角形的内心是它外接圆，被三个点分成的三段圆弧的三个中点组成的三角形的垂心。
- 外心到中心的距离是外心到垂心距离的(frac{1}{3})
D , E , F 分别是AB ， AC， BC，的中点。
I 既是三角形ABC的内心，也是三角形DEF的垂心。
O 是外心，G是重心，H是垂心，都是三角性ABC的。
(OG = frac{1}{3}OH)
然后，在本题中
在这题中，圆心 OO 恰在原点，而平面中三点 (x_A,y_A),(x_B,y_B),(x_C,y_C)组成的三角形重心之坐标为 ((frac{x_A+x_B+x_C}{3},frac{y_A+y_B+y_C}{3})) ，所以对于任意 (ABC) ，三段弧中点的坐标之和，就是 ABC 内心的坐标。
然后考虑一个点被统计多少次即可。
主要是用两个点求出它在优弧上和劣弧上的中点的坐标，在统计用了多少次即可。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define pi 3.14159265358979323846
using namespace std;
const int N = 3010;
int n , L;
int t[N];
int main()
{
scanf("%d%d" , &n , &L);
for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) scanf("%d" , &t[i]);
double ansx = 0 , ansy = 0;
for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)
for(int j = i + 1 ; j <= n ; ++j)
{
double tmp = pi * (t[i] + t[j]) / L;
ansx += cos(tmp) * (n - 2 * (j - i - 1) - 2);
ansy += sin(tmp) * (n - 2 * (j - i - 1) - 2);
}
ansx /= (double)n * (n - 1) * (n - 2) / 6.0;
ansy /= (double)n * (n - 1) * (n - 2) / 6.0;
printf("%.10f %.10f" , ansx , ansy);
return 0;
}