AT2064[AGC005F]Many Easy Problems【NTT】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2064

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题目大意

给出\(n\)个点的一棵树，对于\(k\in[1,n]\)求出所有\(k\)个点的点集的构出的虚树大小和。

\(1\leq n\leq 2\times 10^5\)

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解题思路

考虑每个点的贡献，一个点被统计当且仅当存在两个点在它所连接的不同联通块中，那么也就是如果所有选出的点都在它的同一个连通块中那么这个点不会被统计贡献。记为一个联通块大小为\(m\)，那么这个点的贡献就是\(\binom{n}{k}-\binom{m}{k}\)。

不难发现所有节点连接的联通块数量只有\(2n-2\)个，统计\(c_i\)表示大小为\(i\)的子树数量，那么答案

\[ans_k=\binom{n}{k}\times n-\sum_{i=k}^n\binom{i}{k}\times c_i \]

这个东西显然可以写成卷积形式，用\(NTT\)就好了。

时间复杂度：\(O(n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1<<19,P=924844033;
struct node{
	ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,tot,ls[N],siz[N],c[N],b[N],inv[N],fac[N],r[N];
void addl(ll x,ll y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
void dfs(ll x,ll fa){
	siz[x]=1;
	for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
		ll y=a[i].to;
		if(y==fa)continue;
		dfs(y,x);siz[x]+=siz[y];
	}
	if(n-siz[x])
		c[n-siz[x]]++,c[siz[x]]++;
	return;
}
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void NTT(ll *f,ll n,ll op){
	for(ll i=0;i<n;i++)
		if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
	for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
		ll len=p>>1,tmp=power(5,(P-1)/p);
		if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
		for(ll k=0;k<n;k+=p){
			ll buf=1;
			for(ll i=k;i<k+len;i++){
				ll tt=f[i+len]*buf%P;
				f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
				f[i]=(f[i]+tt)%P;
				buf=buf*tmp%P;
			}
		}
	}
	if(op==-1){
		ll invn=power(n,P-2);
		for(ll i=0;i<n;i++)
			f[i]=f[i]*invn%P;
	}
	return;
}
signed main()
{
	inv[0]=inv[1]=fac[0]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;
	for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1,x,y;i<n;i++){
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		addl(x,y);addl(y,x);
	}
	dfs(1,0);
	ll m=1;while(m<=2*n+2)m<<=1;
	for(ll i=1;i<=n;i++)c[i]=c[i]*fac[i]%P;
	for(ll i=0;i<=n;i++)b[i]=inv[i];
	for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);
	reverse(b,b+n+1);
	NTT(c,m,1);NTT(b,m,1);
	for(ll i=0;i<m;i++)c[i]=c[i]*b[i]%P;
	NTT(c,m,-1);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ll w=fac[n]*inv[i]%P*inv[n-i]%P;
		w=w*n%P-c[n+i]%P*inv[i]%P;
		printf("%lld\n",(w+P)%P);
	}
	return 0;
}