FWT

基本思路：将多项式变成点值表达，点值相乘之后再逆变换回来得到特定形式的卷积；

多项式的次数界都为(2^n)的形式，(A_0)定义为前一半多项式(下标二进制第一位为(0))，(A_1)同理定义；

((A,B))表示多项式(A)和(B)的直接拼接,FWT的结果都是一个点值表达，相乘表示点值相乘；

下面这些变换都满足线性，记(n)为二进制位数，复杂度：(O(n imes 2^n))；

or卷积

形式：

[(A|B)_{k} = sum_{i|j=k}A_i imes B_j ]
定义变换：

[FWT(A) = (FWT(A_0),FWT(A_0+A_1)) ]
则：(FWT(A|B)=FWT(A) imes FWT(B))
归纳证明：
注意到(A|B=(A_0|B_0,A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1)) ;

[egin{align} &FWT(A|B)\ &=FWT(A_0|B_0,A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1)\ &=(FWT(A_0|B_0),FWT(A_0|B_0+A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1))\ &=(FWT(A_0) imes FWT(B_0),FWT(A_0) imes FWT(B_0)+FWT(A_0) \ & imes FWT(B_1)+FWT(A_1) imes FWT(B_0)+FWT(A_1) imes FWT(B_1))\ &=(FWT(A_0),FWT(A_0+A_1)) imes(FWT(B_0),FWT(B_0+B_1))\ &=FWT(A) imes FWT(B) end{align} ]
逆变换：

[IFWT(A) = (IFWT(A_0),IFWT(A_1-A_0)) ]
代码：

void fwt(int*A,int F){
   	for(int i=1;i<n;i<<=1)
    for(int j=0;j<n;j+=i<<1)
    for(int k=0;k<i;++k){
        if(~F)A[j+k+i]=(A[j+k+i]+A[j+k])%mod;
    	else A[j+k+i]=(A[j+k+i]-A[j+k]+mod)%mod;
    }
}

and卷积

形式：

[(A&B)_{k} = sum_{i&j=k}A_i imes B_j ]
定义变换：

[FWT(A) = (FWT(A_0+A_1),FWT(A_1)) ]
则：(FWT(A&B)=FWT(A) imes FWT(B))
归纳证明：

注意到：(A&B=(A_0&B_0+A_0&B_1+A_1&B_0,A_1&B_1))

同理．．
逆变换：

[IFWT(A)=(IFWT(A_0-A_1),IFWT(A_1)) ]

代码

void fwt(int*A,int F){
   	for(int i=1;i<n;i<<=1)
    for(int j=0;j<n;j+=i<<1)
    for(int k=0;k<i;++k){
        if(~F)A[j+k]=(A[j+k]+A[j+k+i])%mod;
    	else A[j+k]=(A[j+k]-A[j+k+i]+mod)%mod;
    }
}

xor卷积

形式

[(A oplus B)_{k} = sum_{i oplus j=k}A_i imes B_j ]
定义变换：

[FWT(A) = (FWT(A_0+A_1),FWT(A_0-A_1)) ]
则：(FWT(A oplus B)=FWT(A) imes FWT(B))
归纳证明：

注意到：(A oplus B=(A_0 oplus B_0+A_1oplus B_1 ,A_0oplus B_1+A_1oplus B_0))

同理．．
逆变换：

[IFWT(A)=(IFWT(A_0+A_1)/2,IFWT(A_0-A_1)/2) ]

代码：

void fwt(int*A,int F){
   	for(int i=1;i<n;i<<=1)
    for(int j=0;j<n;j+=i<<1)
    for(int k=0;k<i;++k){
        int x=A[j+k],y=A[j+k+i];
        A[j+k]=(x+y)%mod,A[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
    	if(!~F)A[j+k]=(ll)A[j+k]*iv2%mod,A[j+k+i]=(ll)A[j+k+i]*iv2%mod;
    }
}

FMT

基本思路：将二进制的每一位看成一维，枚举每一维做前缀和就可以得到集合的前缀和；

直接上代码了．．．．．．

子集前缀和(= or)

for(int i=0;i<n;++i)
for(int j=1<<i;j<1<<n;++j)
    if(j>>i&1)f[j]+=f[j^(1<<i)];

超集前缀和(= and)

for(int i=0;i<n;++i)
for(int j=(1<<n)-1;j>=1<<i;--j)
    if(j>>i&1)f[j^(1<<i)]+=f[j];

fmt的逆变换只需要将第二维反过来减即可；

优点是代码短，常数小，复杂度也是(O(n imes 2^n))

子集卷积和

(S,T)是集合，求(C:C_S = sum_{S subset T} A_T imes B_{S-T}) 　
设(A_{i,S}=[|S|=i] imes A_S)
令(C_i = sum_{jle i} A_{j}|B_{i-j})
这样就把问题变成了or卷积
由于我们只关心满足(|T|=i)的(C_{i,T})，所以是不会多算的；
时间复杂度:(O(n^2 imes 2^n))

【WC2018】州区划分

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define mod 998244353
#define rg register 
#define il inline 
using namespace std;
const int N=22;
int n,m,p,f[N][1<<N],g[N][1<<N],d[N],fa[N],all,ny[3010];
int w[1<<N],cnt[1<<N],iw[1<<N],e[N];
il void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
il void dec(int&x,int y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
il void fwt(int*A,int F){
	if(~F){
		for(rg int i=0;i<n;++i)
		for(rg int x=1<<i,j=x;j<all;++j)
		if(j&x)inc(A[j],A[j^x]);
	}else{
		for(rg int i=0;i<n;++i)
		for(rg int x=1<<i,j=all-1;~j;--j)
		if(j&x)dec(A[j],A[j^x]);
	}
}
int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
il bool check(int S){
	for(rg int i=0;i<n;++i)fa[i]=i,d[i]=0;
	for(int i=0;i<n;++i)if(S>>i&1)
	for(int j=i+1;j<n;++j)if(S>>j&1){
		if(!(e[i]>>j&1))continue;
		d[i]++,d[j]++;
		int fu=find(i),fv=find(j);
		if(fu!=fv)fa[fu]=fv;
	}
	int lst=-1;
	for(rg int i=0;i<n;++i)if(S>>i&1){
		if(!~lst)lst=find(i);
		if(lst!=find(i) || (d[i]&1))return true;
	}
	return false;
}
il int val(int x){
	if(!p)return 1;
	if(p&1)return x;
	return (ll)x*x%mod;
}
int main(){
//	freopen("walk.in","r",stdin);
//	freopen("walk.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);all=1<<n;
	for(rg int i=0;i<m;++i){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v),u--,v--;
		e[u]|=1<<v;e[v]|=1<<u;
	}
	for(rg int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&w[1<<i]);
	ny[1]=1;for(rg int i=2;i<=2100;++i)ny[i]=(ll)(mod-mod/i)*ny[mod%i]%mod;
	fwt(w,1);
	for(rg int i=0;i<all;++i){	
		iw[i]=ny[w[i]];
		iw[i]=val(iw[i]);
		w[i]=val(w[i]);
		cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
	}
	for(rg int i=0;i<all;++i)if(check(i))g[cnt[i]][i]=w[i];
	for(rg int i=0;i<=n;++i)fwt(g[i],1);
	f[0][0]=1;fwt(f[0],1);
	for(rg int i=1;i<=n;++i){
		int *F=f[i];//不加寻址优化是会T的
		for(rg int j=1;j<=i;++j){
			int *a=f[i-j],*b=g[j];
			for(rg int k=0;k<all;++k){
				inc(F[k],(ll)a[k]*b[k]%mod);
			}
		}
		fwt(F,-1);
		for(rg int j=0;j<all;++j)F[j]=cnt[j]==i?(ll)F[j]*iw[j]%mod:0;
		if(i!=n)fwt(f[i],1);
	}
	cout<<f[n][all-1]<<endl;
	return 0;
}