sss

<更新提示>

<第一次更新>这道题的树上分组背包的做法已经在『选课有树形依赖的背包问题』中讲过了，本篇博客中主要讲解将多叉树转二叉树的做法，以便输出方案。

<正文>

选课

Description

学校实行学分制。每门的必修课都有固定的学分，同时还必须获得相应的选修课程学分。学校开设了N（N < 500）门的选修课程，每个学生可选课程的数量M是给定的。学生选修了这M门课并考核通过就能获得相应的学分。

　　在选修课程中，有些课程可以直接选修，有些课程需要一定的基础知识，必须在选了其它的一些课程的基础上才能选修。例如《Frontpage》必须在选修了《Windows操作基础》之后才能选修。我们称《Windows操作基础》是《Frontpage》的先修课。每门课的直接先修课最多只有一门。两门课也可能存在相同的先修课。每门课都有一个课号，依次为1，2，3，…。

上例中1是2的先修课，即如果要选修2，则1必定已被选过。同样，如果要选修3，那么1和2都一定已被选修过。　　你的任务是为自己确定一个选课方案，使得你能得到的学分最多，并且必须满足先修课优先的原则。假定课程之间不存在时间上的冲突。

Input Format

　第一行包括两个正整数N、M（中间用一个空格隔开）其中N表示待选课程总数（1≤N≤500)，M表示学生可以选的课程总数（1≤M≤N)。以下M行每行代表一门课，课号依次为1，2,…,M。每行有两个数（用一个空格隔开），第一个数为这门课的先修课的课号（若不存在先修课则该项为0），第二个数为这门课的学分。

Output Format

第一行只有一个数，即实际所选课程的学分总数。以下N行每行有一个数，表示学生所选课程的课号。

n行学生选课的课号按从小到大的顺序输出。

Sample Input

Sample Output

解析

直接使用树上背包的方法，不便于输出方案，我们换一种思路(dp)。对于每一个节点，我们记录(br[i])代表(i)一个兄弟节点的编号，(ch[i])代表(i)一个子节点的编号。如果兄弟节点和子节点不止一个怎么办，显然，它兄弟的兄弟也是它的兄弟，它儿子的兄弟也是它的儿子，这样就可以表示所有的兄弟节点和儿子节点了，而事实上，对于每一个(i)我们只记录一个(br[i])和(ch[i])，这样，本质上我们就把多叉树转换为二叉树了。

还是设(f[x][t])代表以(x)为根的子树中选了(t)门课的最大学分，显然有两种转移：

(1.) 不取节点(x)，直接令(f[x][t]=f[br[x]][t])即可

(2.) 取节点(x)并在以(x)为根的子树中取一部分点，剩下的一部分点在兄弟中取，即(f[x][t]=max{f[br[x]][i]+f[ch[x]][t-i-1]+a[x]})

利用上述两个方程即可完成树形(dp)。

我们可以通过同样的枚举方式得知每一次节点(x)是否被选，就能得到方案了。

(Code:)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 520;
int n,m,br[N],ch[N],a[N],f[N][N],ans[N];
inline void input(void)
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int fa; scanf("%d%d",&fa,&a[i]);
        if ( fa == 0 ) fa = n+1;
        br[i] = ch[fa];
        ch[fa] = i;
    }
}
inline void dp(int x,int t)
{
    if ( f[x][t] > 0 ) return;
    if ( x == 0 || t == 0 ) return;
    dp( br[x] , t );
    f[x][t] = f[br[x]][t];
    for (int i=0;i<t;i++)
    {
        dp( br[x] , i ) , dp( ch[x] , t-i-1 );
        f[x][t] = max( f[x][t] , f[br[x]][i] + f[ch[x]][t-i-1] + a[x] );
    }
}
inline void solve(int x,int t)
{
    if ( x == 0 || t == 0 ) return;
    if ( f[x][t] == f[br[x]][t] ) return solve( br[x] , t );
    for (int i=0;i<t;i++)
    {
        if ( f[x][t] == f[br[x]][i] + f[ch[x]][t-i-1] + a[x] )
        {
            solve( br[x] , i ) , solve( ch[x] , t-i-1 );
            ans[x] = true; break;
        }
    }
}
int main(void)
{
    input();
    dp( ch[n+1] , m );
    solve( ch[n+1] , m );
    printf("%d
",f[ch[n+1]][m]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        if ( ans[i] )
            printf("%d
",i);
    return 0;
}

<后记>