支配树

一、前言

黑科技杀我！

想写什么写什么，所以这篇文章除了我，可能不适合其他人学习。

~~其实就是无情的搬运工，并且懒得搬证明。~~

而且有些地方个人认为有些问题并自行纠错，有可能我反而搞错了，谨慎阅读。

二、讲解

(零)、前提

存在起点 (s) 的连通有向图。

(一)、基本概念

0.符号含义与特别说明

树一般指(dfs)树。树边、返祖边、前向边、横叉边也很好理解。

(u ightarrow v)：表示存在一条 (u) 到 (v) 的边。

(uoverset{+}{ ightarrow} v)：表示存在一条 (u) 到 (v) 的树边且 (u ot=v)。

(uoverset{.}{ ightarrow} v)：表示存在一条 (u) 到 (v) 的树边但允许 (u=v)。

(uleadsto v)：表示存在一条由 (u) 到 (v) 的路径。

在本文中，(dfn)值和(dfs)序等价。

1.最近支配点idom

点 (i) 的支配点中(dfs)序最大的点即为点 (i) 的最近支配点，换句话说，点 (i) 在支配树中的父亲即它的最近支配点。最近支配点一般用 (idom) 表示。

2.半支配点sdom

顶点 (v) 的半支配点 (u) 是所有符合下列条件的点中 (dfs)序最小的点:

顶点 (i) 存在一条路径到 (v) 且路径上的顶点（不包含两个端点）的(dfs)序均大于(v)的(dfs)序。

(v) 的半支配点记为 (sdom(v))。

特别的，若 (u ightarrow v)，(u) 也是 (sdom(v)) 的候选点。这种情况相当于路径上没有其他点。

(二)、五大引理

1.

除 (s) 以外的每个点存在唯一的 (idom)。

证明：过于显然，略。

2.

(forall w ot=s)，有 (idom(w)overset{+}{ ightarrow}w)。

即 (idom(w)) 是树中 (w) 的祖先。

证明：反证，考虑如果去掉 (idom(w))，(s) 可以通过树边到达 (w)。

3.

(forall w ot=s)，有 (sdom(w)overset{+}{ ightarrow}w)。

即 (sdom(w)) 是树中 (w) 的祖先。

证明：咕。

4.

(forall w ot=s)，有 (idom(w)overset{.}{ ightarrow}sdom(w))。

即 (idom(w)) 要么是 $sdom(w) 的祖先，要么是 (sdom(m)) 本身。

证明：根据引理二和引理三再反证即可。

5.

对于满足 (uoverset{.}{ ightarrow}v) 的点 (u,v)，则有 (uoverset{.}{ ightarrow}idom(v)) 或 (idom(v)overset{.}{ ightarrow}idom(u))

读者自证不难。

(三)、三项定理

1.

(forall u ot=s)，如果对于所有满足 (sdom(u)overset{+}{ ightarrow}voverset{.}{ ightarrow}u) 的 (v)，有 (dfn(sdom(v))ge dfn(sdom(u)))，则有 (idom(u)=sdom(u))。

读者自证不难。

2.

(forall u ot=s)，如果有 (sdom(u)overset{+}{ ightarrow}voverset{.}{ ightarrow}u)，设 (v) 是满足 (dfn(sdom(v))) 最小的一个 (v)，若 (dfn(sdom(v)) < dfn(sdom(u)))，则有 (idom(u)=idom(v))。

读者自证不难。

3.

？

读者自证不难。

(四)、重要推论

(forall u ot=s)，令 (u) 为所有满足 (sdom(v)overset{+}{ ightarrow}uoverset{.}{ ightarrow}v) 的 (u) 中 (dfn(sdom(u))) 最小的一个点，有：

[idom(v) egin{cases} sdom(v) (sdom(u)=sdom(v))\ idom(u) (dfn(sdom(u))<dfn(sdom(v))) end{cases}]

(五)、具体实现

1.(O(nlog_2n))

如果是一棵树，那么它本身就是支配树。
如果是一个 (DAG)，那么可以拓扑排序，依次确定每个点的 (idom)。具体操作为在原图中找出其所有前驱在支配树上的 (LCA)，这个就是它的 (idom)。
如果是一个普通有向图，那么我们可以先求出每个点的 (sdom)，然后删掉所有非树边并连边 ((sdom(u),u))，此时得到一个 (DAG)，支配关系与原图一致。

2.(O(alpha(n)n)))

利用推论即可。

三、练习

板题(洛谷)

四、代码

板题 ((O(nlog_2n)))

//12252024832524
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define TT template<typename T>
using namespace std; 

typedef long long LL;
const int MAXN = 200005;
const int MAXM = 300005 << 1;
int n,m;

LL Read()
{
	LL x = 0,f = 1;char c = getchar();
	while(c > '9' || c < '0'){if(c == '-') f = -1;c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9'){x = (x*10) + (c^48);c = getchar();}
	return x * f;
}
TT void Put1(T x)
{
	if(x > 9) Put1(x/10);
	putchar(x%10^48);
}
TT void Put(T x,char c = -1)
{
	if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
	Put1(x); if(c >= 0) putchar(c);
}
TT T Max(T x,T y){return x > y ? x : y;}
TT T Min(T x,T y){return x < y ? x : y;}
TT T Abs(T x){return x < 0 ? -x : x;}

struct EDGE
{
	int head[MAXN],tot;
	struct edge
	{
		int v,nxt;
	}e[MAXM];
	void Add_Edge(int x,int y)
	{
		e[++tot].v = y;
		e[tot].nxt = head[x];
		head[x] = tot;
	}
}e,re,eg,reg,dt;//原图(边)，反图(边)，等价图，反等价图，支配树

int dfn[MAXN],rdfn[MAXN],dfntot,fa[MAXN];
void dfs(int x)
{
	rdfn[dfn[x] = ++dfntot] = x;
	for(int i = e.head[x]; i ;i = e.e[i].nxt)
	{
		int v = e.e[i].v;
		if(dfn[v]) continue;
		fa[v] = x;
		dfs(v); 
		eg.Add_Edge(x,v); 
	}
}
int F[MAXN],sdom[MAXN],MIN[MAXN];
int findSet(int x)
{
	if(x == F[x]) return F[x];
	int ftr = F[x]; F[x] = findSet(F[x]);
	if(dfn[sdom[MIN[x]]] > dfn[sdom[MIN[ftr]]]) MIN[x] = MIN[ftr];
	return F[x];
}
void Tarjan()
{
	for(int i = 1;i <= n;++ i) sdom[i] = MIN[i] = F[i] = i;
	for(int i = n;i > 1;-- i)//枚举的是dfs序
	{
		int x = rdfn[i];//当前更新节点
		if(!x) continue;//不连通
		int ret = i;
		for(int j = re.head[x]; j ;j = re.e[j].nxt) 
		{
			int v = re.e[j].v;
			if(!dfn[v]) continue;
			if(dfn[v] < dfn[x]) ret = Min(ret,dfn[v]);
			else
			{
				findSet(v);
				ret = Min(ret,dfn[sdom[MIN[v]]]); 
			}
		}
		sdom[x] = rdfn[ret];
		F[x] = fa[x];
		eg.Add_Edge(sdom[x],x); 
	}
} 
int d[MAXN],f[MAXN][18];
int lca(int x,int y) 
{
	if(x == y) return x;
	if(d[x] < d[y]) swap(x,y);
	for(int i = 17;i >= 0;-- i)
		if(d[f[x][i]] >= d[y]) x = f[x][i];
	if(x == y) return x;
	for(int i = 17;i >= 0;-- i)
		if(f[x][i] != f[y][i])
			x = f[x][i],y = f[y][i];
	return f[x][0];
}
void bdt(int x)//build dominating tree
{
	int LCA = 0;
	for(int i = reg.head[x]; i ;i = reg.e[i].nxt) 
	{
		int v = reg.e[i].v;
		if(!LCA) LCA = v;
		else LCA = lca(LCA,v);
	}
	f[x][0] = LCA;
	d[x] = d[LCA] + 1;
	dt.Add_Edge(LCA,x);
	for(int i = 1;i <= 17;++ i) f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1];
}
int in[MAXN];
void topu()
{
	for(int x = 1;x <= n;++ x)
		for(int i = eg.head[x]; i ;i = eg.e[i].nxt)
		{
			int v = eg.e[i].v;
			in[v]++;
			reg.Add_Edge(v,x);
		}
	queue<int> q;
	for(int i = 1;i <= n;++ i) if(!in[i]) q.push(i),bdt(i);
	while(!q.empty())
	{
		int x = q.front(); q.pop();
		for(int i = eg.head[x]; i ;i = eg.e[i].nxt)
		{
			int v = eg.e[i].v;
			if(!(--in[v])) q.push(v),bdt(v);
		}
	}
}
int siz[MAXN];
void dtdfs(int x)
{
	siz[x] = 1;
	for(int i = dt.head[x],v; i ;i = dt.e[i].nxt)
		v = dt.e[i].v,dtdfs(v),siz[x] += siz[v];
}

int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	n = Read(); m = Read();
	for(int i = 1,u,v;i <= m;++ i) u = Read(),v = Read(),e.Add_Edge(u,v),re.Add_Edge(v,u);
	dfs(1);
	Tarjan();
	topu();
	dtdfs(0);
	for(int i = 1;i <= n;++ i) Put(siz[i],' ');
	return 0;
}

五、吐槽

不会真有人写 (O(nlog_2n)) 的算法吧。