数论函数及其变换

日常%虞大。

数论函数：定义域为正整数，值域为实数的函数。

积性函数：满足(f(ab)=f(a)f(b) (a,b)=1)的数论函数。

完全积性函数：满足(f(ab)=f(a)f(b))的数论函数。

一些数论函数：

(varepsilon(n))，当n=1时为1，否则值为0。叫做单位函数。
(d(n))，表示n的正因数个数，叫做因子个数函数。它是积性函数。

证明：一定把一个数素因子分解为(p1^{q1}p2^{q2}...pl^{ql})，并且pi各不相同。那么(d(n)=Pi (q_i+1))。设(n=ab,(a,b)=1)，因此a和b也可以表示成素因子分解的形式，并且没有共同的素因子。积性性质是显然的。
(sigma(n))，表示n的正因子和，叫做因子和函数。它是积性函数。

证明：(sigma(n)=Pi(frac{p_i^{q_1+1}-1}{p_i-1}))，积性性质也是很显然的。
(varphi(n))，表示与n互素且小于n的正整数个数。它是积性函数。

证明：前面的博文提到过。推出(varphi(pq)=pq-p-q-1)就很好证明了。
(mu(n)=egin{aligned} 1 && n=1 \ 0 && 有完全平方因子 \ (-1)^p && 是p个不同素因子积\ end{aligned})

它是积性函数。证明手动推一下即可。

数论函数的值可以用线性筛求出。举一个筛(φ(n))的栗子，其它以此类推。

对于素数p，只会筛到一次，直接令$φ(p) = p - 1 $即可。

对于一个合数n，它只会被筛到一次，只会被最小的素因子p筛到，而且此时大循环到了k，即(n = pk)。若此时(p mid k)，说明n中含p的幂大于1。因此，(φ(n) = φ(k) · p)，否则，说明((p, k) = 1)，从而n中含 p的幂等于1，此时由(φ)的积性，可得(φ(n) = φ(k) · φ(p) = φ(k) · (p - 1))。这样，就实现了线性筛求(φ(n))的值。（from 虞大）

莫比乌斯反演

首先，(sum_{d|n}mu(d)=varepsilon(n))。由于如果数n有完全平方因子，那么(mu(d)=0)。因此只需要考虑(n=p1*p2*...*pl)的情况。显然(sum_{d|n}mu(d)=sum_{r=0}^lC_l^r(-1)^r=(1-1)^l=0)。

莫比乌斯反演是这个柿子：(F(n)=sum_{d|n}f(d)Leftrightarrow f(n)=sum_{d|n}F(frac{n}{d})mu(d))。

我们来用和式变换推一下：(sum_{d|n}F(frac{n}{d})mu(d)=sum_{d|n}mu(d)sum_{i|frac{n}{d}}f(i)=sum_{i|n}f(i)sum_{d|frac{n}{i}}mu(d)=f(n))

另外，莫比乌斯反演还有一种形式：(F(n)=sum_{n|d}f(d)Leftrightarrow f(n)=sum_{n|d}mu(frac{d}{n})F(d))。表示懒得看证明了，就这样吧。