已知函数(f(x)=x+x{ln}x),(g(x)=ax^2-2(a-1)x+a-1).且(forall xinleft[1,+infty
ight),f(x)leqslant g(x)).
((1)) 求实数(a)的取值范围;
((2)) 求证:({ln}left[(n+1)!cdot n!
ight]<dfrac{n(n+1)}{2}-dfrac{n}{2(n+1)}),(ninmathbb{N}^ast).
解析:
((1)) 构造函数(F(x)=g(x)-f(x)),则(forall xgeqslant 1,F(x)geqslant 0),即$$
forall xgeqslant 1,F(x)=aleft(x-1
ight)^2+x-1-x{ln}xgeqslant 0.$$依次对(F(x))求一二阶导函数可得$$
egin{cases}
& F'(x)=2aleft(x-1
ight)-{ln}x,
& F''(x)=2a-dfrac{1}{x},
end{cases}
$$
情形一 若(a<dfrac{1}{2}),则(F''(1)=2a-1<0),此时必然
$$
egin{split}
&exists x_0>1,forall xinleft(1,x_0
ight),F''(x)<0,
&F'(x)<F'(1)=0,F(x)<F(1)=0.
end{split}$$
因此该种情形不满足题设,舍去.
情形二 若(ageqslant dfrac{1}{2}),则$$
forall xgeqslant 1,F'(x)geqslant (x-1)-{ln}xgeqslant 0,F(x)geqslant F(1)=0.$$满足题设.综上可得(a)的取值范围为(
left[dfrac{1}{2},+infty
ight)).
((2)) 原题等价于证明$$
sum_{k=1}{n}left[{ln}left(k2+k
ight)-k+dfrac{1}{2k(k+1)}
ight]<0,k=1,2,cdots,n.$$
构造函数(h(x)={ln}(x^2+x)-x+dfrac{1}{2x(x+1)},xgeqslant 1),对(h(x))求导可得$$
h'(x)=dfrac{-2x4+4x2-1}{2x2(1+x)2},xgeqslant 1.$$
令(h'(x)=0),解得(x_1=sqrt{dfrac{2+sqrt{2}}{2}}<2).从而(h(x))在([1,x_1))单调递增,在((x_1,+infty))单调递减.由于(h(1)<0),并且
$$h(2)={ln}dfrac{6}{mathrm{e}2}+dfrac{1}{12}<dfrac{2left(6-mathrm{e}2
ight)}{6+mathrm{e}2}+dfrac{1}{12}=dfrac{150-23mathrm{e}2}{6+mathrm{e}^2}<0.$$
从而$$displaystylesum_{k=1}^nh(k)=h(1)+h(2)+cdots h(n)leqslant h(1)+(n-1)h(2)<0.$$证毕.