三角函数公式

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

中文名: 三角函数公式
外文名: Formulas of trigonometric functions

适用领域: 几何，代数变换，数学、物理、地理、天文等
应用学科: 数学、物理、地理、天文地理等

定义式

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	锐角三角函数	任意角三角函数
图形	直角三角形	任意角三角函数
正弦（sin）
余弦（cos）
正切（tan或tg）
余切（cot或ctg）
正割（sec）
余割（csc）

表格参考资料来源：现代汉语词典 [1] ．

函数关系

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倒数关系：①

；②

；③

。

商数关系：①

；②

。

平方关系：①

；②

；③

。

诱导公式

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公式一：设

为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

公式二：设

为任意角，

与

的三角函数值之间的关系：

公式三：任意角

与

的三角函数值之间的关系：

公式四：

与

的三角函数值之间的关系：

公式五：

与

的三角函数值之间的关系：

公式六：

及

与

的三角函数值之间的关系：

记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 [2] ．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：

k×π/2±a(k∈z)的三角函数值

（1）当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；

（2）当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：

奇变偶不变：其中的奇偶是指π/2的奇偶数倍，变与不变是指三角函数名称的变化，若变，则是正弦变余弦，正切变余切。

符号看象限：根据角的范围以及三角函数在哪个象限的正负，来判断新三角函数的符号。

记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．

诱导公式

以诱导公式二为例：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π+α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值。这样，就得到了诱导公式二。

以诱导公式四为例：

诱导公式

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值。这样，就得到了诱导公式四。

诱导公式的应用：

运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：

诱导公式

特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

基本公式

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和差角公式

二角和差公式

三角和公式

和差化积公式

口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．

积化和差公式

倍角公式

二倍角公式

三倍角公式

证明：

sin3a

=sin(a+2a)

=sin2a·cosa+cos2a·sina

=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina

=3sina-4sin3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa

=4cos3a-3cosa

sin3a

cos3a

上述两式相比可得：

tan3a

四倍角公式

sin4a=-4×[cosa·sina·(2×sin2a-1)]

cos4a=8cos4a-8cos2a+1

tan4a=(4tana-4tan3a)/(1-6tan2a+tan4a) [3]

五倍角公式

n倍角公式

应用欧拉公式：

上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：

所以

其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分．而

所以

半角公式

（正负由

所在的象限决定）

万能公式

辅助角公式

证明：

由于

，显然

，且

故有：

其它公式

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正弦定理

详见词条：正弦定理

在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R．则有 [4] ：

正弦定理变形可得：

余弦定理

详见词条：余弦定理

图1 余弦定理

对于如图1所示的边长为a、b、c而相应角为α、β、γ的△ABC，有：

也可表示为：

降幂公式

sin²α=[1-cos(2α)]/2

cos²α=[1+cos(2α)]/2

tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

幂级数

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数，其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数，这种级数称为幂级数。

泰勒展开式

泰勒展开式又叫幂级数展开法

实用幂级数：

, （!!表示双阶乘）

在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。 [5-6]

万能公式

傅里叶级数

傅里叶级数又称三角级数