题目描述
给n个人安排座位，先给每个人一个1~n的编号，设第i个人的编号为ai（不同人的编号可以相同），接着从第一个人开始，大家依次入座，第i个人来了以后尝试坐到ai，如果ai被占据了，就尝试ai+1，ai+1也被占据了的话就尝试ai+2，……，如果一直尝试到第n个都不行，该安排方案就不合法。然而有m个人的编号已经确定(他们或许贿赂了你的上司...)，你只能安排剩下的人的编号，求有多少种合法的安排方案。由于答案可能很大，只需输出其除以M后的余数即可。
输入输出格式
输入格式：
第一行一个整数T，表示数据组数
对于每组数据，第一行有三个整数，分别表示n、m、M
若m不为0，则接下来一行有m对整数，p1、q1，p2、q2 ,…, pm、qm，其中第i对整数pi、qi表示第pi个人的编号必须为qi
输出格式：
对于每组数据输出一行，若是有解则输出YES，后跟一个整数表示方案数mod M，注意，YES和数之间只有一个空格，否则输出NO
输入输出样例
2 4 3 10 1 2 2 1 3 1 10 3 8882 7 9 2 9 5 10
YES 4 NO
说明
100%的数据满足：1≤T≤10，1≤n≤300，0≤m≤n，2≤M≤109，1≤pi、qi≤n 且保证pi互不相同。
首先需要巨量的观察，题目直接给出的条件太过抽象没法用
我的思路是这样的，显然如果要满足条件，1~n中的每一个位置都要被占据，那显然如果对于每个前缀1~k，编号在1~k之内的人至少要有k个，这显然是个必要条件，然后再仔细一试，发现这也是个充分条件，这是性质1
然后在经过一阵倒腾，还可以发现这个最终结果是不是合法和人来的顺序没有关系，也就是说只要每种编号的数量确定了，最终的结果也就确定了，和具体的编号分配无关，这是性质2
综合性质1和性质2，就可以dp了
先把所有的固定编号的人去掉求一下每个前缀剩下的的人数限制sum[i]，如果有某个sum[i]大于n-m那就是NO
dp[i][j]表示前编号1~i有j个人的方法数，枚举编号i的人数k，k至少是0，至多不能使上一位不合法，也就是，j-k不能小于sum[i-1]，然后再乘个C(j,k)即可
总的来说
$$ dp[i][j] = sum_{k=0}^{j-max(0,sum[i-1])}dp[i-1][j-k] imesinom{j}{k} $$
#include <iostream> #include <cstdlib> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <string> #include <cstring> #include <cmath> #include <map> #include <stack> #include <set> #include <vector> #include <queue> #include <time.h> #define eps 1e-7 #define INF 0x3f3f3f3f #define MOD 1000000007 #define rep0(j,n) for(int j=0;j<n;++j) #define rep1(j,n) for(int j=1;j<=n;++j) #define pb push_back #define mp make_pair #define set0(n) memset(n,0,sizeof(n)) #define ll long long #define ull unsigned long long #define iter(i,v) for(edge *i=head[v];i;i=i->nxt) #define max(a,b) (a>b?a:b) #define min(a,b) (a<b?a:b) #define print_runtime printf("Running time:%.3lfs ",double(clock())/1000.0) #define TO(j) printf(#j": %d ",j); //#define OJ using namespace std; const int MAXINT = 100010; const int MAXNODE = 100010; const int MAXEDGE = 2 * MAXNODE; char BUF, *buf; int read() { char c = getchar(); int f = 1, x = 0; while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -1; c = getchar();} while (isdigit(c)) {x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();} return f * x; } char get_ch() { char c = getchar(); while (!isalpha(c)) c = getchar(); return c; } //------------------- Head Files ----------------------// int C[310][310], n, m, M; ll dp[310][310], sum[310]; void get_input(); void work(); void init_C() { C[0][0] = 1; for (int i = 1; i <= 300; i++) { C[i][0] = 1; for (int j = 1; j <= i; j++) { C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % M; } } } int main() { int T = read(); while (T--) { get_input(); init_C(); work(); } return 0; } void work() { for (int i = 2; i <= n; i++) sum[i] += sum[i - 1]; rep1(i, n) if (sum[i] > n - m) {printf("NO "); return;} memset(dp, 0, sizeof(dp)); dp[0][0] = 1; rep1(i, n) { for (int j = max(0, sum[i]); j <= n - m; j++) { for (int k = 0; k <= j - max(0, sum[i - 1]); k++) { dp[i][j] += dp[i - 1][j - k] * C[j][k]; dp[i][j] %= M; } } } printf("YES %lld ",dp[n][n-m]); } void get_input() { fill(sum + 1, sum + 310, 1); n = read(); m = read(); M = read(); rep0(i, m) { int p = read(), q = read(); sum[q]--; } }