Codeforces 900D Unusual Sequences：记忆化搜索

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/900/D

题意：

　　给定x,y，问你有多少个数列a满足gcd(a[i]) = x 且 ∑(a[i]) = y。

题解：

　　由于gcd(a[i]) = x，所以y一定是x的倍数，否则无解。

　　那么原题就等价于：问你有多少个数列a满足gcd(a[i]) = 1 且 ∑(a[i]) = y/x。

　　设f(k)为gcd(a[i]) = 1 且 ∑(a[i]) = k时的答案。

　　只满足条件∑(a[i]) = k的数列共有2^(k-1)种（隔板法）

　　然后要从中去掉gcd不为1的数列。

　　每个和为k且gcd不为1的数列a1，对应着一个和为k的因数且gcd为1的数列a2。

　　因为a1可以由a2整体放大而来。

　　那么也就是f(k) = 2^(k-1) - ∑ f(p)，其中p为k的因数(p != k)。

　　搜索 + map记忆化即可。

　　由于需要用到的f(k)，k均为y/x的因数，最多sqrt(y/x)个。

　　加上map的log复杂度，所以总复杂度为O(sqrt(n)*log(n))。

AC Code:

 1 #include <iostream>
 2 #include <stdio.h>
 3 #include <string.h>
 4 #include <map>
 5 #define MOD 1000000007
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 int x,y;
10 map<int,int> mp;
11 
12 long long quick_pow(long long n,long long k)
13 {
14     long long ans=1;
15     while(k>0)
16     {
17         if(k&1) ans=(ans*n)%MOD;
18         n=n*n%MOD;
19         k>>=1;
20     }
21     return ans;
22 }
23 
24 long long dfs(int i)
25 {
26     if(i==1) return 1;
27     if(mp.count(i)) return mp[i];
28     long long ans=quick_pow(2,i-1);
29     for(int j=2;j*j<=i;j++)
30     {
31         if(i%j==0)
32         {
33             ans=((ans-dfs(j))%MOD+MOD)%MOD;
34             if(i/j!=j) ans=((ans-dfs(i/j))%MOD+MOD)%MOD;
35         }
36     }
37     ans=((ans-1)%MOD+MOD)%MOD;
38     return mp[i]=ans;
39 }
40 
41 int main()
42 {
43     cin>>x>>y;
44     cout<<(y%x==0 ? dfs(y/x) : 0)<<endl;
45 }