HDU 4336 Card Collector：状压 + 期望dp

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4336

题意：

　　有n种卡片(n <= 20)。

　　对于每一包方便面，里面有卡片i的概率为p[i]，可以没有卡片。

　　问你集齐n种卡片所买方便面数量的期望。

题解：

　　状态压缩。

　　第i位表示手上有没有卡片i。

　　表示状态：

　　　　dp[state] = expectation

　　　　（卡片状态为state时，要集齐卡片还要买的方便面数的期望）

　　找出答案：

　　　　ans = dp[0]

　　　　刚开始一张卡片都没有。

　　如何转移：

　　　　now: dp[state]

　　　　对于卡片i，如果手上已经有了i，则方便面里有i等价于面里什么都没有。

　　　　所以子期望共两种：

　　　　　　（1）拿到一张还没有的卡片i。

　　　　　　（2）拿到垃圾2333。

　　　　dp[state] = sigma( dp[state|(1<<i)] * p[i] ) + dp[state] * P(useless) + 1

　　　　P(useless)为拿到垃圾的概率。

　　　　设tot = sigma(p[i])

　　　　P(useless) = 1 - tot

　　　　原式移项后：

　　　　　　dp[state] = ( sigma( dp[state|(1<<i)] * p[i] ) + 1 ) / tot

　　边界条件：

　　　　dp[(1<<n)-1] = 0

　　　　已经集齐，不用再买。

AC Code:

// state expression:
// dp[state] = expectation
// state: state of present cards
//
// find the answer:
// ans = dp[0]
//
// transferring:
// now: dp[state]
// dp[state] = sigma( dp[state|(1<<i)] * p[i] ) + dp[state] * P(useless) + 1
// i: not been collected
// dp[state] = ( sigma( dp[state|(1<<i)] * p[i] ) + 1 ) / (1 - P(useless))
// dp[state] = ( sigma( dp[state|(1<<i)] * p[i] ) + 1 ) / tot
//
// boundary:
// dp[(1<<n)-1] = 0
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 25
#define MAX_S ((1<<20)+5)

using namespace std;

int n;
double p[MAX_N];
double dp[MAX_S];

void read()
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>p[i];
    }
}

void solve()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int state=(1<<n)-2;state>=0;state--)
    {
        double tot=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(!((state>>i)&1))
            {
                dp[state]+=dp[state|(1<<i)]*p[i];
                tot+=p[i];
            }
        }
        dp[state]=(dp[state]+1.0)/tot;
    }
}

void print()
{
    printf("%.9f
",dp[0]);
}

int main()
{
    while(cin>>n)
    {
        read();
        solve();
        print();
    }
}