[JZOJ P1329] [DP]玩具装箱

找了好几个大神的博客，然而一堆堆的公式看都看不懂，最后找到了hzwer学长的，第一次看到斜率优化，大概是假设两个k，j决策且k优于j，化成一堆公式，左边跟k，j有关，右边跟i有关。

dp公式很好想， dp[i]=min(dp[j]+(i-j-1-l+sum[i]-sum[j])^2);（j<i）

dp[i]表示前i个玩具的最优费用，dp[i]的值就取决于 dp[j]+从j+1到i玩具的费用 i-j-1 就可以得出。

设f[i]=sum[i]+i,        c=1+l;

dp[i]=min(dp[j]++(f[i]-f[j]-c)^2);

证明决策单调性：

假设在状态i处有k和j两种决策，且k优于j

则 dp[k]+(f[i]-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2

在状态i后的状态t也一定是k决策优于j决策

dp[k]+(f[t]-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[t]-f[j]-c)^2

f[t]=sum[t]+t=sum[i]+sum[t]-sum[i]+i+t-i;

设 v=sum[t]-sum[i]+t-i;

f[t]=f[i]+v;

dp[k]+(f[i]+v-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[i]+v-f[j]-c)^2

dp[k]+(f[i]-f[k]-c)^2+2*v*(f[i]-f[k]-c)+v^2<=dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2+2*v*(f[i]-f[j]-c)+v^2

2*v*(f[i]-f[k]-c)<=2*v*(f[i]-f[j]-c)

f[k]>=f[j]

求斜率方程：

dp[k]+(f[i]-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2

dp[k]+f[i]^2-2*f[i]*(f[k]+c)+(f[k]+c)^2<=dp[j]+f[i]^2-2*f[i]*(f[j]+c)+(f[j]+c)^2

dp[k]-2*f[i]*(f[k]+c)+(f[k]+c)^2<=dp[j]-2*f[i]*(f[j]+c)+(f[j]+c)^2

(dp[k]+(f[k]+c)^2-dp[j]-(f[j]+c)^2)/2*(f[k]-f[j])<=f[i]

当 队首+1优于队首时      ->SLOP(队首+1=k，队首=j)　　踢出队首

这酱紫队首为最优，求出dp[i]

把i加入决策中时 当 SLOP（i=k，队尾=j）<SLOP（队尾=k，队尾-1=j）　　踢出队尾

把决策i加入队尾。

重要的一点是long long 因为要平方谁也不知道平方后的数有多可怕。不平方只过了样例没过一组数据我不想说话。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long  n,l,cc[50005],dp[50005],q[50005],f[50005],c;
int head=1,tail=0;
double solve(int j,int k)
{
    return(dp[k]-dp[j]+(f[k]+c)*(f[k]+c)-(f[j]+c)*(f[j]+c))/(2.0*(f[k]-f[j]));
}
int main(){
    cin>>n>>l;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>cc[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i]=f[i-1]+cc[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i]+=i;
    c=1+l;
    q[++tail]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(head<tail&&solve(q[head],q[head+1])<=f[i])    head++;
        int t=q[head];
        dp[i]=dp[t]+(f[i]-f[t]-c)*(f[i]-f[t]-c);
        while(head<tail&&solve(q[tail],i)<solve(q[tail-1],q[tail]))
            tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    cout<<dp[n];
    return 0;
}