【NOI2014】动物园

NOI的水题……

原题：

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。

某天，园长给动物们讲解KMP算法。

园长：“对于一个字符串S，它的长度为L。我们可以在O(L)的时间内，求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作next[i]。”

园长：“非常好！那你能举个例子吗？”

熊猫：“例S为abcababc，则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出next[1] = next[2] = next[3] = 0，next[4] = next[6] = 1，next[7] = 2，next[8] = 3。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在O(L)的时间内求出next数组。

下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作num[i]。例如S为aaaaa，则num[4] = 2。这是因为S的前4个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出num[i]分别是多少，你只需要输出对1,000,000,007取模的结果即可。

n≤5,L≤1,000,000

 

恩既是前缀又是后缀，这个就是kmp中next的定义啊，所以这题就是用kmp的next的性质来搞

然后手玩一下就可以发现，Li就等于 min (i 能沿着next往前跳几步 , (i>>1))，这个比较好想就不多说了，手玩即可

这样算是对的，但是有一个问题，就是如果出现10^6个a这样的极端数据，或者重复很多的数据，10^6的跳跃会T炸

然后也是比较容易发现很多跳跃是多余的，因为之前已经跳过了，已经知道要跳几步了，而且现在的 i 比之前跳的时候的 i 要大，跳跃的步数不会受到(i>>1)的限制

所以就可以记忆化一下，用 f[i] 表示 i 能跳几步（其实这个就是 L[i] 啦

然后我就写出了酱紫一个代码：

for(int i=2;i<=n;i++){
        while(temp && s[i]!=s[temp+1])  temp=next[temp];
        next[i]=(temp+=(s[temp+1]==s[i]));
        f[i]=f[next[i]]+1;
        int _temp=i;
        while((_temp>>1)>i && _temp)  _temp=next[_temp];
        ans=(ans*f[_temp])%mod_num;
    }

这个代码是正确的，但是T了

然后研究了一下黄学长的代码，没区别啊(ノ｀Д´)ノ┻━┻

这就是神犇和辣鸡的区别啊，同一种解法神犇AC辣鸡不是WA就是T反正A不了

注意这里我说的是“同一种解法”，所以说虽然我们的解法一样，但是我的写法实际上和黄学长的是不一样的

大致手玩了一下发现，黄学长是在for外面就声明了一个temp2，然后这个temp2和temp的匹配没啥差别，就是多了一个while((temp2<<1)>i && temp2)  temp2=next[temp2];

然后我就发现问题了，因为这个temp2放在for外面了，所以它可以“记住”上一次匹配的时候(i>>1)的限制，我的由于是从i开始的，所以每一重循环都要进行一次(i>>1)的while，虽然黄学长的代码也进行了这个while，但是由于temp2在for外面，所以实际上while的次数要少得多

而且由于 i 每次只+1，所以似乎不会出现因为 i 的增长导致(i>>1)对temp2的限制减少

恩我语文不好不擅长解释，反正就是多手玩几次还是比较好理解的

kmp真是神奇

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int mod_num=1000000007;
int n;  char s[1100000];
int next[1100000];
int f[1100000];
void clear(){memset(next,0,sizeof(next));}
int main(){//freopen("ddd.in","r",stdin);
int T;  cin>>T;  while(T --> 0){clear();//趋向于
    scanf("%s",s+1);  n=strlen(s+1);
    int temp=0,_temp=0;  long long ans=1;
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        while(temp && s[i]!=s[temp+1])  temp=next[temp];
        next[i]=(temp+=(s[temp+1]==s[i]));
        f[i]=f[temp]+1;
        while(_temp && s[_temp+1]!=s[i])  _temp=next[_temp];
        _temp+=(s[_temp+1]==s[i]);
        while((_temp<<1)>i && _temp)  _temp=next[_temp];
        ans=(ans*(f[_temp]+1))%mod_num;
    }
    cout<<ans<<endl;
    continue;
}
    return 0;
}