高数——多元函数

多元函数求极限：

原则：

就一个原则：除了洛必达法则，基本上一元函数能用的求极限的方法几乎都能在多元函数上使用。

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例1 使用了无穷小替换

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例2 二元初等函数在定义域连续，所以极限同样可以直接代入

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例3 同样也可以分子分母有理化

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例4 同样也可以使用两个重要极限

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例5 同样也能够使用夹逼准则

讨论函数 $[fleft( {x,y} ight) = left{ egin{array}{l} frac{{{x^2}y}}{{{x^2} + {y^2}}}{kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {x^2} + {y^2} e 0\ 0{kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {x^2} + {y^2} = 0 end{array} ight.]$ 在（0,0）处的连续性

解：先求极限 $[mathop {lim }limits_{x o 0,y o 0} fleft( {x,y} ight) = mathop {lim }limits_{x o 0,y o 0} frac{{{x^2}y}}{{{x^2} + {y^2}}}]$

因为 $[0 le left| {frac{{{x^2}y}}{{{x^2} + {y^2}}}} ight| = left| {frac{y}{{1 + frac{{{x^2}}}{{{y^2}}}}}} ight| le left| y ight| o 0left( {y o 0} ight)]$

所以由夹逼准则知道 $[mathop {lim }limits_{x o 0,y o 0} fleft( {x,y} ight) = mathop {lim }limits_{x o 0,y o 0} frac{{{x^2}y}}{{{x^2} + {y^2}}} = 0 = fleft( {0,0} ight)]$
因此连续

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