$T$ 组询问，用 $n$ 种颜色去染 $n$ 个点的环，旋转后相同视为同构。求不同构的环的个数模 $p$ 的结果。 $Tle 3500,nle 10^9,ple 30000$ 。
题解
Polya定理+欧拉函数
根据 poj2409 中得到的结论，答案为：
$frac{sumlimits_{i=1}^nn^{gcd(i,n)}}n=sumlimits_{i=1}^nn^{gcd(i,n)-1}$
由于 $n$ 有 $10^9$ 之大，因此考虑优化这个式子。
枚举 $gcd(i,n)$ ，则有：
$Ans=sumlimits_{d|n}n^{d-1}sumlimits_{j=1}^{frac nd}[gcd(j·d,n)==d]\ =sumlimits_{d|n}n^{d-1}sumlimits_{j=1}^{frac nd}[gcd(j,frac nd)==1]\ =sumlimits_{d|n}n^{d-1}varphi(frac nd)\ =sumlimits_{k|n}n^{frac nk-1}varphi(k)$
此时 $k$ 是 $n$ 的约数，总个数不会超过 $O(sqrt n)$ 个。但是直接枚举约数的话难以快速算出 $varphi$ 值。
考虑将 $n$ 分解质因数，设 $n=prodlimits_{i=1}^mp_i^{a_i}$ ，那么我们dfs枚举 $k=prodlimits_{i=1}^mp_i^{b_i} (0le b_ile a_i)$ ，由于 $varphi$ 是积性函数，所以在枚举的过程中就可以顺便求出 $varphi$ 值 ，再与 $n^{frac nk-1}$ 作乘积累加到答案中即可。这样能够不重不漏地枚举到 $n$ 的所有约数并统计答案。
时间复杂度 $O(Tsqrt nlog n)$ ，由于这个根号是远远不满的，因此可以过。
#include <cstdio>
int a[40] , c[40] , tot , n , p , ans;
inline int pow(int x , int y)
{
int ans = 1;
while(y)
{
if(y & 1) ans = ans * x % p;
x = x * x % p , y >>= 1;
}
return ans;
}
void dfs(int x , int d , int v)
{
if(x > tot)
{
ans = (ans + pow(n % p , n / d - 1) * (v % p)) % p;
return;
}
int i;
dfs(x + 1 , d , v);
d *= a[x] , v *= a[x] - 1;
for(i = 1 ; i <= c[x] ; i ++ , d *= a[x] , v *= a[x])
dfs(x + 1 , d , v);
}
int main()
{
int T , i , x;
scanf("%d" , &T);
while(T -- )
{
scanf("%d%d" , &n , &p);
tot = 0 , x = n;
for(i = 2 ; i * i <= x ; i ++ )
{
if(!(x % i))
{
a[++tot] = i , c[tot] = 0;
while(!(x % i)) x /= i , c[tot] ++ ;
}
}
if(x != 1) a[++tot] = x , c[tot] = 1;
ans = 0 , dfs(1 , 1 , 1);
printf("%d
" , ans);
}
return 0;
}