题目描述
小明有许多潜在的天赋，他希望学习这些天赋来变得更强。正如许多游戏中一样，小明也有n种潜在的天赋，但有一些天赋必须是要有前置天赋才能够学习得到的。也就是说，有一些天赋必须是要在学习了另一个天赋的条件下才能学习的。比如，要想学会"开炮"，必须先学会"开枪"。一项天赋可能有多个前置天赋，但只需习得其中一个就可以学习这一项天赋。上帝不想为难小明，于是小明天生就已经习得了1号天赋-----"打架"。于是小明想知道学习完这n种天赋的方案数，答案对1,000,000,007取模。（两种方案不同指的是存在某种天赋的前置天赋不同）
输入
第一行一个整数n。
接下来是一个n*n的01矩阵，第i行第j列为1表示习得天赋j的一个前置天赋为i。
数据保证第一列和主对角线全为0。
n<=300
输出
第一行一个整数，问题所求的方案数。
样例输入
8
01111111
00101001
01010111
01001111
01110101
01110011
01111100
01110110
样例输出
72373
题解
矩阵树定理
读明白题以后发现求的就是外向树形图的个数，于是使用矩阵树定理解决。
与求生成树个数不同的是，外向树形图用的矩阵是 入度矩阵-邻接矩阵 ，并且删去的一行一列不能随便选择，必须是根所在的那一行那一列。
然后高斯消元求一下行列式的值即可。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 310
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[N][N];
char str[N];
inline ll pow(ll x , ll y)
{
ll ans = 1;
while(y)
{
if(y & 1) ans = ans * x % mod;
x = x * x % mod , y >>= 1;
}
return ans;
}
int main()
{
int n , i , j , k , d = 0;
ll t , ans = 1;
scanf("%d" , &n);
for(i = 0 ; i < n ; i ++ )
{
scanf("%s" , str);
for(j = 0 ; j < n ; j ++ )
if(str[j] == '1')
a[j][j] ++ , a[i][j] -- ;
}
for(i = 1 ; i < n ; i ++ )
{
for(j = i ; j < n ; j ++ )
if(a[j][i])
break;
if(j >= n) continue;
if(j != i)
for(d ^= 1 , k = i ; k < n ; k ++ )
swap(a[i][k] , a[j][k]);
ans = ans * a[i][i] % mod;
for(t = pow(a[i][i] , mod - 2) , j = i ; j < n ; j ++ ) a[i][j] = a[i][j] * t % mod;
for(j = i + 1 ; j < n ; j ++ )
for(t = a[j][i] , k = i ; k < n ; k ++ )
a[j][k] = (a[j][k] - a[i][k] * t % mod + mod) % mod;
}
for(i = 1 ; i < n ; i ++ ) ans = ans * a[i][i] % mod;
if(d) ans = (mod - ans) % mod;
printf("%lld
" , ans);
return 0;
}