51Nod2026 Gcd and Lcm

题目看这里
一个非常好的题！
好的，看到题目就很懵逼
首先这个f不就是ϕ$\varphi$吗，认真一看才发现不对
让后问题？f(lcm)*f(gcd)?
肯定有问题，推了一会没有结论，去看看题解：
有这么一个神奇结论f(gcd(x,y))∗f(lcm(x,y))=f(x)∗f(y)$f(gcd(x,y))\ast f(lcm(x,y))=f(x)\ast f(y)$
推导一下？大概就是这样：首先f是积性函数，那么
f(x)=Πki=1f(paii)$f(x)={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^{k}f(p_i^{a_i})$
同理
f(gcd(x,y))=Πki=1f(pmin(ai,bi)i)$f(gcd(x,y))={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^{k}f(p_i^{min(a_i,b_i)})$
f(lcm(x,y))=Πki=1f(pmax(ai,bi)i)$f(lcm(x,y))={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^{k}f(p_i^{max(a_i,b_i)})$
那么因为max(a,b)+min(a,b)=a+b$max(a,b)+min(a,b)=a+b$
f(gcd(x,y))∗f(lcm(x,y))=Πki=1f(pai+bii)=f(x)∗f(y)$f(gcd(x,y))\ast f(lcm(x,y))={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^{k}f(p_i^{a_i+b_i})=f(x)\ast f(y)$
所以原式变成了(∑ni=1f(i))2$(\sum _{i=1}^{n}f(i){)}^2$是不是又可以杜教筛辣
别急，还有一步很精彩
我们要找一个函数和他做狄利克雷卷积
是不是发现f和ϕ$\varphi$很像？没错
(ϕ∗f)(x)=∑d|xϕ(d)∗f(xd)$(\varphi \ast f)(x)=\sum _{d|x}\varphi (d)\ast f(\frac{x}{d})$
=∑d|xϕ(d)∗∑i|xdi∗μ(i)$=\sum _{d|x}\varphi (d)\ast \sum _{i|\frac{x}{d}}i\ast \mu (i)$
=∑i∗d|xϕ(d)∗i∗μ(i)$=\sum _{i\ast d|x}\varphi (d)\ast i\ast \mu (i)$
=∑i|xi∗μ(i)∗∑d|xiϕ(d)$=\sum _{i|x}i\ast \mu (i)\ast \sum _{d|\frac{x}{i}}\varphi (d)$
=∑i|xi∗μ(i)∗xi$=\sum _{i|x}i\ast \mu (i)\ast \frac{x}{i}$
=x∗∑i|xμ(i)=[n=1]$=x\ast \sum _{i|x}\mu (i)=[n=1]$

剩下的部分参考杜教筛简易教程

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<map> 
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define N 10000010
#define LL long long
#define M 1000000007
using namespace std;
map<int,int> p,f; 
int n,phi[N],d[N],w[N>>3],t=0;
inline void init(){
    d[1]=phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=10000000;++i){
        if(!phi[i]){ phi[w[++t]=i]=i-1; d[i]=1-i; }
        for(int j=1,k;j<=t && (k=i*w[j])<=10000000;++j){
            if(i%w[j]==0){ phi[k]=phi[i]*w[j]; d[k]=d[i]; break; }
            phi[k]=phi[i]*(w[j]-1); d[k]=d[i]*(1-w[j]);
        }
        phi[i]=(phi[i-1]+phi[i])%M; d[i]=(d[i-1]+d[i])%M;
    }
}
inline int gP(int x){
    if(x<=10000000) return phi[x];
    if(p.count(x)) return p[x];
    int s=((LL)x*(x+1)>>1)%M;
    for(int i=2,j;i<=x;i=j+1){
        j=x/(x/i);
        s=(s-gP(x/i)*(j-i+1ll)%M+M)%M;
    }
    return p[x]=s;
}
inline int gF(int x){
    if(x<=10000000) return d[x];
    if(f.count(x)) return f[x];
    LL s=1;
    for(int i=2,j;i<=x;i=j+1){
        j=x/(x/i);
        s=(s-gF(x/i)*((LL)gP(j)-gP(i-1)+M)%M+M)%M;
    }
    return f[x]=s;
}
int main(){
    scanf("%d",&n); init();
    printf("%d
",(LL)gF(n)*gF(n)%M);
}