算法总结之母函数

1.概念

　　生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。形式上说，普通型生成函数用于解决多重集的组合问题，而指数型母函数用于解决多重集的排列问题。母函数还可以解决递归数列的通项问题（例如使用母函数解决斐波那契数列的通项公式）。

2.组合问题中的应用

　　先放两句百度百科上的原话:

　　　　　1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来”

　　　　　2.“母函数的思想很简单 — 就是把离散数列和幂级数一 一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “

　　再放两个可以用母函数解决的问题：

　　　　问题1：有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？

　　　　问题2：求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数(邮票个数没有限制)？

　　从这两个问题可以看出来，用母函数是用来解决：

　　　　有N种重量的物品，每种物品有M个(1-无穷),求可以组合出来的重量的个数和该重量的方案数。

　　和背包问题分类类似，我们可以把这些问题分为:01（每个物品只有一件），完全（每个物品不限量），多重（每个物品都有指定的个数），混合。。

3.问题分析

　　先来假设一个母函数：G(x)=a0*X^0+a1*X^1+a2*X^2+a3*X^3+...+an*X*n

　　1）问题1：

　　　　再假设一个函数：G(x)=(1+X^1)(1+X^2)(1+X^3)(1+X^4) 

　　　　　　其中(1+X^1)可以看做是 (1*X^0+1*X^1)==>{不使用1克的砝码，使用1克的砝码}

　　　　　　那么将多项式分解后：G(x)=1+X+X^2 +2*X^3 +2*X^4+2*X^5+2*X^6+2*X^7+X^8+X^9+X^10

　　　　　　就将所有砝码使用与否的情况都考虑到了。

　　　　　　这时，函数中的 2*X^3 就代表了 有两种方案可以组成3(3=3;3=1+2)..

　　　　　　那么G(x)中系数不为零的X^P,代表P可以被组合出来，系数为可以组合的方案数。

　　2)问题2：

　　　　同假设一个函数：G(x)=(1+X^1+X^2+X^3+...)(1+X^2+X^4+X^6+...)....

　　　　其中(1+X^2+X^4+X^6+...)可以看做{不使用1毛的邮票，使用1个1毛的邮票，使用2个1毛的邮票...}

　　　　分解后类似于问题1中的G(x)=1+X+X^2 +2*X^3 +2*X^4+2*X^5+2*X^6+2*X^7+X^8+X^9+X^10 

　　　　后函数中X的系数与指数与问题1中的所代表的相同。

　　3)扩展：

　　　　由问题2中的：其中(1+X^2+X^4+X^6+...)可以看做{不使用1毛的邮票，使用1个1毛的邮票，使用2个1毛的邮票...}

　　　　可以推论：当重量为N的物品，有M个时，可以写成(1+X^N+X^2N+X^3N+...+X^MN)

3.代码实现

　　转载自Tanky Woo博客

#include <iostream>
using namespace std;
// Author: Tanky Woo
// www.wutianqi.com
const int _max = 10001; 
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
// c2是中间量，保存没一次的情况
int c1[_max], c2[_max];   
int main()
{    //int n,i,j,k;
    int nNum;   // 
    int i, j, k;
 
    while(cin >> nNum)
    {
        for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①
        {
            c1[i] = 1;
            c2[i] = 0;
        }
        for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②
        {
 
            for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③
                for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④
                {
                    c2[j+k] += c1[j];
                }
            for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤
            {
                c1[j] = c2[j];
                c2[j] = 0;
            }
        }
        cout << c1[nNum] << endl;
    }
    return 0;
}

4.代码详解

　　　　我们需要把一个形如G(x)=(1+X^1+X^2+X^3+...)(1+X^2+X^4+X^6+...)....这样的函数

　　　　转换成形如F(x)=1+X+X^2 +2*X^3 +2*X^4+2*X^5+2*X^6+2*X^7+X^8+X^9+X^10 的函数

　　　　步骤如下：

　　　　　　1)初始化F(x)= “G(x)的第一个括号中的内容” 代码中备注为①

　　　　　　2)将G(x)的第二个括号乘入F(x)中  代码中备注为②

　　　　　　　　　(1)将F(x)中第一项与G(x)中第二个括号的每一项相乘 代码中备注为③④

　　　　　　　　　(2)将F(x)中第二项与G(x)中第二个括号的每一项相乘

　　　　　　　　　.....

　　　　　　3)将G(x)的第三个括号乘入F(x)中

　　　　　　4)将G(x)的第四个括号乘入F(x)中

　　　　　　...

　　　　备注：

　　　　　　1) C1[i]中存的是 X^i的系数，C2[]为临时数组，用来保证C1[]的正确性。

　　　　　　2)根据题目给的物品重量的不同，初始化会不同，且后面的for()的累加也不同。

5.相关练习

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