Leetcode: Gas Station

There are N gas stations along a circular route, where the amount of gas at station i is gas[i].

You have a car with an unlimited gas tank and it costs cost[i] of gas to travel from station i to its next station (i+1). You begin the journey with an empty tank at one of the gas stations.

Return the starting gas station's index if you can travel around the circuit once, otherwise return -1.

Note:
The solution is guaranteed to be unique.

难度：60.这道题用Brute Force的方法解比较好想，就是从每一个站开始，一直走一圈，累加过程中的净余的油量，看它是不是有出现负的，如果有则失败，从下一个站开始重新再走一圈；如果没有负的出现，则这个站可以作为起始点，成功。可以看出每次需要扫描一圈，对每个站都要做一次扫描，所以时间复杂度是O(n^2)。

brute force: 这道题如果17-18行把分情况讨论改成：sum += balance[(k+j)%N], 这样就会TLE。

public class Solution {
    public int canCompleteCircuit(int[] gas, int[] cost) {
        int N = gas.length;
        int[] balance = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            balance[i] = gas[i] - cost[i];
        }
        
        for (int k = 0; k < N; k++) {
            if (check(balance, k, N) == 1) return k;
        }
        return -1;
    }
    
    public int check(int[] balance, int k, int N) {
        int sum = 0;
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            if (k + j < N) sum = sum + balance[k+j];
            else sum = sum + balance[k+j-N];
            if (sum < 0) return 0;
        }
        return 1;
    }
}

Gode Ganker有O(N)的方法，优化解法更像是一个数学题，需要定义数学模型并证明命题正确性，比较需要数学逻辑的功底。通过定义的模型以及证明的命题来做

方法主要思想是把这个圈划分成一个个的负序列，以及一个正序列（如果存在的话）。从任意一个站出发，我们可以累加油的净余量，如果出现负的，序列结束，开启一个新的，并且证明旧的这个序列的起点不能作为起点，因为会出现负油量，不能继续前进。下面我们证明

不仅这个负序列的起点不能作为起点，负序列中的任意一点都不能作为起点。

证明：假设我们取定负序列中的一个站作为起点，因为一个序列一旦遇到负的净余量就会结束并且开启新的，那么说明在这个起点前的累加结果必然是正数（否则会结束这个序列，则前面不会是这个序列的一部分）。如此我们从当前序列出发必然会使走到序列终点时负的油量更大，本来已经是负的，所以不能去负序列的任意一个结点作为起点。
根据上面的划分方式，我们会把圈分成一段段的序列，而且其中最多只有一个正序列，那就是绕一圈回到起点的那个序列（当然也有可能整个圈是一个正序列，就是油量一直为正，那么我们测的开始点就可以作为起点了）。接下来我们证明

如果将全部油量累计起来，总量为正，那么一定能找到一个起点，使得可以走完一圈，也就是一定有解。

证明：按照我们之前的划分，整个圈会被划分成有累积量为s1, s2, ..., sk 的负序列，以及一个正序列拥有油量sp（这里正序列一定存在因为全部累加和是正的，如果全是负序列那么结果不会是正的）。而且我们知道s1+s2+...+sk+sp>0，也就是说sp>-s1-s2-...-sk。换句话说，如果我们从sp对应的站的起点出发，在sp对应的序列会一直是正的，并且，当他走到负序列时，因为sp的正油量大于所有负油量的总和，所以累加油量会一直正，完整整个圈的行驶。这证明了只要累加油量是正的，一定能找到一个起点来完成任务。
根据上面的两个命题，我们可以来实现代码，需要维护两个量，一个是总的累积油量total，另一个是当前序列的累计油量sum，如果出现负的，则切换起点，并且将sum置0。总共是需要扫描所有站一次，时间复杂度是O(n)。而只需要两个额外变量，空间复杂度是O(1)。代码如下：

    // O(n)
    public static int canCompleteCircuit2(int[] gas, int[] cost) {
        int curSum = 0;            // 用于记录当前gas剩余量
        int total = 0;                // 记录走完一圈的gas剩余量
        int startIndex = 0;        // 记录能走完一圈的开始位置
        
        for(int i=0; i<gas.length; i++){
            int curRemain = gas[i]-cost[i];  
            if(curSum >= 0){        // 如果当前还有剩余量，继续
                curSum += curRemain;
            }else{                    // 否则，从这里重新开始
                curSum = curRemain;
                startIndex = i;
            }
            total += curRemain;
        }
        
        return total>=0 ? startIndex : -1;
    }