欧拉函数

欧拉函数定义：对于正整数N，小于或等于N 且与N互质的正整数的个数，记为phi(N)；

phi(N) = N * (1-1/p1) * (1-1/p2) * (1-1/p3) * ...... * (1-1/pk)

这里的p1、p2 ...... pk 是 N 所有的质因数。

欧拉函数性质（推导）：

　　1、phi(1) = 1；

　　2、若N为素数，则phi(N) = N-1；

　　3、若N为奇数，则phi(2N ) = phi(N)；

　　4、欧拉定理：对任意两个互质的正整数a、n(n>2) 有同余方程：a^phi(n) = 1 (mod n)

　　5、费马小定理：当a与n互质，且n为素数时有同余方程：a^(n-1) = 1 (mod n)

下面给出计算单个欧拉函数phi(n)的值的代码：

 1 // 计算单个欧拉函数phi(n)的值
 2 int enler_phi(int n){
 3     int m = (int)sqrt(n+0.5);   // 避免浮点误差
 4     int ans = n;
 5     for(int i = 2; i <= m; ++i) if(n % i == 0) {
 6         ans = ans/i * (i-1);
 7         while(n % i == 0) n /= i;
 8     }
 9     //为了减少时间复杂度，我们先对n开根号得到m,再从2遍历到m，
10     //这样我们只得到了将n分解之后小于等于m的质因子，n分解之后
11     //可能会存在一个（且只有一个）大于m的质因子，其中的道理不
12     //难明白
13     if(n > 1) ans = ans / n * (n-1);
14     return ans;
15 }

我们还可以借鉴筛法的方法计算phi(1)、phi(2)、phi(3)、.......、phi(n)

 1 int phi[maxn];
 2 void enler_phi(int n){
 3     memset(phi, 0, sizeof(phi));
 4     phi[1] = 1;
 5     for(int i = 2; i <= n; ++i) if(!phi[i])
 6         for(int j = i; j <= n; j += i){
 7             if(!phi[j]) phi[j] = j;
 8             phi[j] = phi[j] / i * (i-1);
 9         }
10 }

欧拉函数可以试试这题：https://vjudge.net/problem/HDU-1286