记录学习——算法时间复杂度求法

1.算法时间复杂度的定义：
在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)= O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

2.推导大O阶方法

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
• 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
• 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
• 得到的最后结果就是大O阶。

常数阶
先举了例子，如下所示。

int sum = 0,n = 100; //执行一次  
sum = (1+n)*n/2; //执行一次  
sum = (1+n)*n/2; //执行二次  
sum = (1+n)*n/2; //执行三次  
sum = (1+n)*n/2; //执行四次  
printf(sum); //执行一次 

上面算法的运行的次数的函数为f(n)=3，根据推导大O阶的规则1，我们需要将常数3改为1，则这个算法的时间复杂度为O(1)。如果sum = （1+n）*n/2这条语句再执行10遍，因为这与问题大小n的值并没有关系，所以这个算法的时间复杂度仍旧是O(1)，我们可以称之为常数阶。

线性阶
线性阶主要要分析循环结构的运行情况，如下所示。

for(int i=0;i<n;i++){
//时间复杂度为O(1)的算法
...
}

上面算法循环体中的代码执行了n次，因此时间复杂度为O(n)。

对数阶
接着看如下代码：

int number=1;
while(number<n){
number=number*2;
//时间复杂度为O(1)的算法
...
}

可以看出上面的代码，随着number每次乘以2后，都会越来越接近n，当number不小于n时就会退出循环。假设循环的次数为X，则由2^x=n得出x=log₂n，因此得出这个算法的时间复杂度为O(logn)。

平方阶
下面的代码是循环嵌套：

 for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=0;j<n;i++){
         //复杂度为O(1)的算法
         ... 
      }
  }

内层循环的时间复杂度在讲到线性阶时就已经得知是O(n)，现在经过外层循环n次，那么这段算法的时间复杂度则为O(n²)。

其他常见复杂度

除了常数阶、线性阶、平方阶、对数阶，还有如下时间复杂度：
f(n)=nlogn时，时间复杂度为O(nlogn)，可以称为nlogn阶。
f(n)=n³时，时间复杂度为O(n³)，可以称为立方阶。
f(n)=2ⁿ时，时间复杂度为O(2ⁿ)，可以称为指数阶。
f(n)=n!时，时间复杂度为O(n!)，可以称为阶乘阶。
f(n)=(√n时，时间复杂度为O(√n)，可以称为平方根阶。

一个进阶实例：

int num1, num2;
for(int i=0; i<n; i++){ 
     num1 += 1;
     for(int j=1; j<=n; j++){ 
         num2 += num1;
     }
} 

分析：
语句int num1, num2;的频度为1；
语句i=0;的频度为1；
语句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的频度为n；
语句j<=n; j++; num2+=num1;的频度为n*n；
T(n) = 2 + 4n + 3n*n

所以时间复杂度是：n^2