重要定理及其证明
一、数列收敛的$Cauchy$收敛准则
数列${{{a}_{n}}}$的充要条件是：对任意的$varepsilon >0$，存在$Nin {{N}^{+}}$，当$m,n>N$时，有
$left| {{a}_{m}}-{{a}_{n}} ight|<varepsilon $
证明：
必要性：设$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,{{a}_{n}}=A$
于是任意的$varepsilon >0$，存在$Nin {{N}^{+}}$，当$m,n>N$时，有$left| {{a}_{m}}-A ight|<frac{varepsilon }{2},left| {{a}_{n}}-A ight|<frac{varepsilon }{2}$
于是$left| {{a}_{m}}-{{a}_{n}} ight|<left| {{a}_{m}}-A ight|+left| {{a}_{n}}-A ight|<varepsilon $
充分性：先证明${{{a}_{n}}}$有界
由题可知：存在${{varepsilon }_{0}}=1$，存在${{N}_{0}}in {{N}^{+}}$，当$n>{{N}_{0}}$时，有$left| {{x}_{n}}-{{x}_{{{N}_{0}}+1}} ight|<1$
令$M=max {left| {{x}_{1}} ight|,left| {{x}_{2}} ight|,cdots ,left| {{x}_{{{N}_{0}}}} ight|,left| {{x}_{{{N}_{0}}+1}} ight|+1$
于是对一切$nin N$，有$left| {{a}_{n}} ight|le M$
由致密性定理，在${{{x}_{n}}}$中必有收敛子列：$underset{k o +infty }{mathop{lim }}\,{{a}_{{{n}_{k}}}}=xi $
有条件，对任意的$varepsilon >0$，存在$Nin {{N}^{+}}$，当$m,n>N$时，有$left| {{a}_{m}}-{{a}_{n}} ight|<varepsilon $
令${{a}_{m}}={{a}_{{{n}_{k}}}}$，其中$k$充分大，满足${{n}_{k}}>N$，并且令$k o +infty $，于是得到$left| {{a}_{n}}-xi ight|le frac{varepsilon }{2}<varepsilon $
即数列${{{a}_{n}}}$收敛
二、归结原则
设$f$在${{U}^{0}}({{x}_{0}};delta ')$上有定义，$underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,f(x)$存在的充要条件是：对任何含于${{U}^{0}}({{x}_{0}};delta ')$且以${{x}_{0}}$为极限的数列${{{x}_{n}}}$，极限$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,f({{x}_{n}})$都存在且相等
证明：
必要性：设$underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,f(x)=A$
则则任给$varepsilon >0$，存在$delta >0$，其中$delta <delta '$，当$0<left| x-{{x}_{0}} ight|<delta $时，$left| f(x)-A ight|<varepsilon $
另一方面，设数列${{{x}_{n}}}subset {{U}^{0}}({{x}_{0}};delta ')$且$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,{{x}_{n}}={{x}_{0}}$
则对上述$delta >0$，存在$N>0$，使得当$n>N$时，有$0<left| {{x}_{n}}-{{x}_{0}} ight|<delta $
从而有$left| f({{x}_{n}})-A ight|<varepsilon $
即$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,f({{x}_{n}})=A$
充分性：设对任何数列${{{x}_{n}}}subset {{U}^{0}}({{x}_{0}};delta ')$且$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,{{x}_{n}}={{x}_{0}}$，有$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,f({{x}_{n}})=A$
反证法：若$x o {{x}_{0}}$时$f(x)$不以$A$为极限
则存在${{varepsilon }_{0}}>0$，对任何$delta >0$，存在$x$，当$left| x-{{x}_{0}} ight|<delta $时，$left| f(x)-A ight|ge {{varepsilon }_{0}}$
现依次取$delta =delta ',frac{delta '}{2},cdots ,frac{delta '}{n},cdots $，则存在相应的点${{x}_{1}},{{x}_{2}},cdots ,{{x}_{n}},cdots $，使得
$0<left| {{x}_{n}}-{{x}_{0}} ight|<frac{delta '}{n}$但$left| f({{x}_{n}})-A ight|ge {{varepsilon }_{0}},n=1,2,cdots $
显然数列${{{x}_{n}}}subset {{U}^{0}}({{x}_{0}};delta ')$且$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,{{x}_{n}}={{x}_{0}}$，但$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,f({{x}_{n}}) e A$矛盾
于是必有$underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,f(x)=A$
三、函数收敛的$Cauchy$准则
设函数$f$在${{U}^{0}}({{x}_{0}};delta ')$上有定义，$underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,f(x)$存在的充要条件是：任给$varepsilon >0$，存在$delta >0$，其中$delta <delta '$，使得对任何${{x}_{1}},{{x}_{2}}in {{U}^{0}}({{x}_{0}};delta )$，有$left| f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}}) ight|<varepsilon $
证明：
必要性：设$underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,f(x)=A$
则任给$varepsilon >0$，存在$delta >0$，其中$delta <delta '$，使得对任何$x',x''in {{U}^{0}}({{x}_{0}};delta )$，有
$left| f({{x}_{1}})-A ight|<frac{varepsilon }{2},left| f({{x}_{2}})-A ight|<frac{varepsilon }{2}$
于是$left| f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}}) ight|le left| f({{x}_{1}})-A ight|+left| f({{x}_{2}})-A ight|<varepsilon $
充分性：设数列${{{x}_{n}}}subset {{U}^{0}}({{x}_{0}};delta )$且$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,{{x}_{n}}={{x}_{0}}$
按假设，任给$varepsilon >0$，存在$delta >0$，其中$delta <delta '$，使得对任何${{x}_{1}},{{x}_{2}}in {{U}^{0}}({{x}_{0}};delta )$，有
$left| f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}}) ight|<varepsilon $
由于$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,{{x}_{n}}={{x}_{0}}$，则对上述$delta >0$，存在$N>0$，使得当$n>N$时，有${{x}_{n}},{{x}_{m}}in {{U}^{0}}({{x}_{0}};delta )$
从而$left| f({{x}_{m}})-f({{x}_{n}}) ight|<varepsilon $
于是按照数列的$Cauchy$收敛准则，${f({{x}_{n}})}$的极限存在，记为$A$，即$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,f({{x}_{n}})=A$
对任意的$xin {{U}^{0}}({{x}_{0}};delta )$，当$n>N$时，有$left| f(x)-f({{x}_{n}}) ight|<varepsilon $
令$n o +infty $，则$left| f(x)-A ight|le varepsilon $
于是$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,f(x)=A$
四、一致收敛
函数$f(x)$定义在区间$I$上，试证$f(x)$在$I$上一致收敛的充要条件为：对任何数列
[{x_{n}^{'}},{x_{n}^{''}}subset I]，若$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,(x_{n}^{'}-x_{n}^{''})=0$，则$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,[f(x_{n}^{'})-f(x_{n}^{''})]=0$
证明：
必要性：若函数在$I$上一致收敛
则对任意的$varepsilon >0$，存在$delta >0$，对任意的$x',x''in I,left| x'-x'' ight|<delta $，有$left| f(x')-f(x'') ight|<varepsilon $
设$I$上两个数列[{x_{n}^{'}},{x_{n}^{''}}]，满足$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,(x_{n}^{'}-x_{n}^{''})=0$
则对上述$delta >0$，存在$N>0$，当$n>N$时，$left| x_{n}^{'}-x_{n}^{''} ight|<delta $
于是$left| f(x_{n}^{'})-f(x_{n}^{''}) ight|<varepsilon $
即$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,[f(x_{n}^{'})-f(x_{n}^{''})]=0$
充分性：对任何数列[{x_{n}^{'}},{x_{n}^{''}}subset I]，若$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,(x_{n}^{'}-x_{n}^{''})=0$，则$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,[f(x_{n}^{'})-f(x_{n}^{''})]=0$
下证$f(x)$在$I$上一致收敛
采用反证法：设$f(x)$在$I$上不一致收敛，则
存在${{varepsilon }_{0}}>0$，对任意的$delta >0$，满足$left| x'-x'' ight|<delta $，但是$left| f(x')-f(x'') ight|ge {{varepsilon }_{0}}$
取${{delta }_{1}}=1$，存在$x_{1}^{'},x_{1}^{''}in I,left| x_{1}^{'}-x_{1}^{''} ight|<1$，有$left| f(x_{1}^{'})-f(x_{1}^{''}) ight|ge {{varepsilon }_{0}}$
取${{delta }_{2}}=frac{1}{2}$，存在$x_{2}^{'},x_{2}^{''}in I,left| x_{2}^{'}-x_{2}^{''} ight|<frac{1}{2}$，有$left| f(x_{2}^{'})-f(x_{2}^{''}) ight|ge {{varepsilon }_{0}}$
$vdots $
取${{delta }_{n}}=frac{1}{n}$，存在$x_{n}^{'},x_{n}^{''}in I,left| x_{n}^{'}-x_{n}^{''} ight|<frac{1}{n}$，有$left| f(x_{n}^{'})-f(x_{n}^{''}) ight|ge {{varepsilon }_{0}}$
$vdots $
于是$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,(x_{n}^{'}-x_{n}^{''})=0$，但$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,[f(x_{n}^{'})-f(x_{n}^{''})] e 0$矛盾
于是$f(x)$在$I$上一致收敛
五、函数列一致收敛的$Cauchy$准则
函数列${{{f}_{n}}}$在数集$D$上一致收敛的充要条件是：对任意的$varepsilon >0$，总存在$Nin {{N}^{+}}$，使得当
$m,n>N$时，都有$left| {{f}_{m}}(x)-{{f}_{n}}(x) ight|<varepsilon $
证明：
必要性：设${{f}_{n}}(x)overrightarrow{ o }f(x)(n o +infty )$，$xin D$
即对任意的$varepsilon >0$，总存在$Nin {{N}^{+}}$，使得当$n>N$时，都有$left| {{f}_{n}}(x)-f(x) ight|<varepsilon $
于是当$m,n>N$时，都有$left| {{f}_{m}}(x)-{{f}_{n}}(x) ight|le left| {{f}_{m}}(x)-f(x) ight|+left| {{f}_{n}}(x)-f(x) ight|<varepsilon $
充分性：若对任意的$varepsilon >0$，总存在$Nin {{N}^{+}}$，使得当$m,n>N$时，都有$left| {{f}_{m}}(x)-{{f}_{n}}(x) ight|<varepsilon $
由数列的$Cauchy$准则，${{{f}_{n}}(x)}$在$D$上任意一点都收敛，设$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,{{f}_{n}}(x)=f(x),xin D$
现固定已知中的$n$，令$m o +infty $
于是当$n>N$时，对一切$xin D$，都有$left| {{f}_{n}}(x)-f(x) ight|le varepsilon $
于是${{f}_{n}}(x)overrightarrow{ o }f(x)(n o +infty )$
六、可微的充分条件
若函数$z=f(x,y)$的偏导数在$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$的某邻域上存在，且${{f}_{x}}$和${{f}_{y}}$在点$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$连续，则函数$f$在点$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$可微。
证明：由于
$Delta z=f({{x}_{0}}+Delta x,{{y}_{0}}+Delta y)-f({{x}_{0}},{{y}_{0}})=[f({{x}_{0}}+Delta x,{{y}_{0}}+Delta y)-f({{x}_{0}},{{y}_{0}}+Delta y)]+[f({{x}_{0}},{{y}_{0}}+Delta y)-f({{x}_{0}},{{y}_{0}})]$
由$Lagrange$中值定理知：
$Delta z={{f}_{x}}({{x}_{0}}+{{ heta }_{1}}Delta x,{{y}_{0}}+Delta y)Delta x+{{f}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}+{{ heta }_{2}}Delta x)Delta y,0<{{ heta }_{1}},{{ heta }_{2}}<1$
由于${{f}_{x}}$和${{f}_{y}}$在点$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$连续，因此有
${{f}_{x}}({{x}_{0}}+{{ heta }_{1}}Delta x,{{y}_{0}}+Delta y)={{f}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})+alpha $
${{f}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}+{{ heta }_{2}}Delta x)={{f}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})+eta $
其中当$(Delta x,Delta y) o (0,0)$时，$alpha o 0,eta o 0$
于是$Delta z={{f}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})Delta x+{{f}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})Delta y+alpha Delta x+eta Delta y$
有定义知$f(x,y)$在点$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$可微
七、偏导数交换顺序
若${{f}_{xy}}(x,y)$和${{f}_{yx}}(x,y)$都在点$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$连续，则${{f}_{xy}}(x,y)={{f}_{yx}}(x,y)$
证明：令
[F(Delta x,Delta y)=f({{x}_{0}}+Delta x,{{y}_{0}}+Delta y)-f({{x}_{0}}+Delta x,{{y}_{0}})-f({{x}_{0}},{{y}_{0}}+Delta y)+f({{x}_{0}},{{y}_{0}})]
$varphi (x)=f(x,{{y}_{0}}+Delta y)-f(x,{{y}_{0}})$
于是
$F(Delta x,Delta y)=varphi ({{x}_{0}}+Delta x)-varphi ({{x}_{0}})$
由于函数$f(x,y)$存在关于$x$的偏导数，所以$varphi (x)$可导
由一元函数中值定理知：
$varphi ({{x}_{0}}+Delta x)-varphi ({{x}_{0}})=varphi '({{x}_{0}}+{{ heta }_{1}}Delta x)Delta x=left[ {{f}_{x}}({{x}_{0}}+{{ heta }_{1}}Delta x,{{y}_{0}}+Delta y)-{{f}_{x}}({{x}_{0}}+{{ heta }_{1}}Delta x,{{y}_{0}}) ight]Delta x(0<{{ heta }_{1}}<1)$
又由于${{f}_{x}}(x,y)$存在关于$y$的偏导数，故对以$y$为自变量的函数${{f}_{x}}({{x}_{0}}+{{ heta }_{1}}Delta x,y)$应用一元微分中值定理，得
$varphi ({{x}_{0}}+Delta x)-varphi ({{x}_{0}})={{f}_{xy}}({{x}_{0}}+{{ heta }_{1}}Delta x,{{y}_{0}}+{{ heta }_{2}}Delta y)Delta xDelta y(0<{{ heta }_{1}},{{ heta }_{2}}<1)$
于是
$F(Delta x,Delta y)={{f}_{xy}}({{x}_{0}}+{{ heta }_{1}}Delta x,{{y}_{0}}+{{ heta }_{2}}Delta y)Delta xDelta y(0<{{ heta }_{1}},{{ heta }_{2}}<1)$
如果令$psi (y)=f(x+Delta x,y)-f({{x}_{0}},y)$
则[F(Delta x,Delta y)=psi ({{y}_{0}}+Delta y)-psi ({{y}_{0}})]
同上可证$F(Delta x,Delta y)={{f}_{yx}}({{x}_{0}}+{{ heta }_{3}}Delta x,{{y}_{0}}+{{ heta }_{4}}Delta y)Delta xDelta y(0<{{ heta }_{3}},{{ heta }_{4}}<1)$
当$Delta x,Delta y$不为0时，于是
[{{f}_{xy}}({{x}_{0}}+{{ heta }_{1}}Delta x,{{y}_{0}}+{{ heta }_{2}}Delta y)={{f}_{xy}}({{x}_{0}}+{{ heta }_{3}}Delta x,{{y}_{0}}+{{ heta }_{4}}Delta y)]
由于${{f}_{xy}}(x,y)$和${{f}_{yx}}(x,y)$都在点$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$连续
故当$Delta x o 0,Delta y o 0$时，有上式两边极限存在且
[{{f}_{xy}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})={{f}_{xy}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})]