最近发现的一些trick(naive) & 学车膜你赛题解

大鸽子更博了！

ARC093F Dark Horse

有 (2^n) 个人，每次相邻比试，比试到只剩一人。(x<y) 时 (x) 获胜。(1) 选手想获胜，但它会输给其中 (m) 个选手。求初始序列的方案数。

(n,mle 16)

一道状压 (dp) + 容斥原理的好题。

（居然是自己想出来的）

(f_{i,j}) 表示给定选手 (isim m) 决定是否强制为集合的最小值时，集合大小 (2^0,2^1,...,2^{n-1}) 选择的情况。

[f_{i,j} imes {2^n-a_{i-1}-j choose 2^k-1} imes k! ightarrow f_{i-1,j|2^k}[j&2^k=0] ]

[ans=2^n imes sum_S(-1)^{|S|}(2^n-1-S)! imes f_{1,S} ]

小 trick: 计数中对组合意义的转化

有些题目在模很小的质数，如 (2) 时，挖掘特殊性质

给定一个无向连通图 (G)，问其诱导子图连通的方案数，对 (2) 取模。

(nle 50,1le |a-b|le 12)

注意到一个图，有 (k) 个连通块，那么它黑白染色的方案数为 (2^k)。

我们先求子图黑白染色的方案数，因为连通块 (ge 2) 时须忽略，故对 (4) 取模除二即为答案。

状态就很简单了：黑色，白色，不选。时间 (O(n3^{12}))。其实 (n^23^{12}) 也跑得过去。。。

对于 (prod_{i=1}^k a_i) 时组合意义的转化

相当于在 (k) 个集合中，每个集合大小为 (a_i)，各选一个的方案数。

比如神佬来切切吧

( ext{WC2019}) 数树更是结合了 ( ext{prufer}) 序列的推论：(k) 个连通块，(sum_{i=1}^{k}a_i=n)，方案数为 (n^{k-2}prod_{i=1}^{k}a_i)。

真是一道不可多得的好题！

突然发现学车送了三套题，质量还可以。其中一套没 latex 所以没做。

prime

min25 筛模板，随便做。

tree

这么好的题目居然没人做 QAQ

求 (sum_{yin S}dis(x,y))，先建个虚树，在虚树上换根 dp，处理出每个点子树和子树反树的 (sum dis^2,sum dis,sum 1)，这样就可以合并了。

因为 (z>0)，所以答案点一定在虚树一条链上。我们设 ((a,b,c)_{1,2}) 分别为子树和子树反树的 (sum dis^2,sum dis,sum 1)。

[ans=a_1+2b_1x+c_1x^2+a_2+2b_2(v-x)+c_2(v-x)^2 ]

[ans=a_1+a_2+2b_2v+c_2v^2+(2b_1-2b_2-2vc_2)x+(c_1+c_2)x^2 ]

根据初中数学知识，(x) 越接近 (-frac {b}{2a}) 二次函数越小，这样的话我们倍增上去，找到一个点，恰好使得 (dis_{x ightarrow z}le Largefrac {vc_2+b_2-b_1}{c_1+c_2})，这样计算一下 (z) 和 (fa_z) 的答案就行了。

另外就是，倍增上去的时候，若 (-frac {b}{2a}) 下取整 (=0) 也是在范围内的。因为有可能是 (-frac {b}{2a}=0.80)，答案在 (fa_x)。若不在 ([0,v)) 的范围内，最小的答案肯定在虚树上的点。

时间 (O(sum klog n))，我认为这是道好题。

triangle

我们把所有点和直线的交点拿去离散化，跑扫描线。这样区域就变成了一些梯形和三角形，且过一个区域的直线不相交。因为若相交，扫描线时会分成两个区域。

这样子你把直线拿去离散化，有两条直线的话相当于在上面区间加，单点查。若一块区域被覆盖 (k) 次，它的贡献为 (S imes (2^k-1) imes 2^{n-k})。时间 (O(n^3log n))。

inv

md，随机居然是这么用的，233

类似 k-d tree 查询最近/远点对，复杂度大概是 (O(nsqrt{a}log n))。

perm

一眼秒了，只是没看出有更简单的做法。

(f_i) 是 (i) 个点正好连成大小为 (i) 的环的方案数。长度在集合之内就是把一些数设成 (0)，不用管它。答案为 (ans_t=t! imes [x^t]e^f)。

[f_0=0,f_1=1 ]

[f_i=i!-sum_{j=1}^{i-1}f_j imes {i-1choose j-1} imes (i-j)! ]

[f_i=i!-(i-1)! imes sum_{j=1}^{i-1}frac{f_j}{(j-1)!} ]

然后我就直接分治 FFT 了。。。

一看别人写的，cnm，这么简单。。。有一个结论：(f_i=(i-1)!)。用数学归纳法容易得出。

接下来就是多项式 exp 的事了，时间 (O(nlog n))。

dlds

码农题。。。估计考场上我如果能写出这题就 rp 爆表了。。。

想都不想，直接树套树，动态开点线段树套fhq treap，封装一下。虽然这题不仅卡时间还卡空间，不过 12s 即使操作 5 时间 (O(log^3 n)) 其他操作时间 (O(log^2 n)) 都能过吧。。。快速访问用个 deque，码码码就行了。