zld.2

2.6 有限微积分

普通微积分的定义：

[frac {df(x)}{dx}=f'(x_0)=lim_{d ightarrow 0}frac{f(x_0+d)-f(x_0)}d ]

可以理解导数符号为一个算子（函数到函数的映射），比如说导数算子将 f(x)=x^2 映射成 f(x)=2x

离散微积分中与导数对应的定义就是差分：

[frac{delta f(x)}{delta x}=Delta f(x)=f(x+1)-f(x) ]

例子：

[Delta (x^3)=3x^2+3x+1 ]

但是考虑到 (x^3)'=3x2，比较简单的形式，寻找一个东西，使得在差分运算下形式比较简洁，这个就叫下降幂

定义下降幂的符号和计算方式为：

[x^{underline{m}}=x(x-1)cdots(x-m+1) ]

比如说 n 是正整数并且 (ngeq m)，那么 n 的 m 次下降幂就是 n!/(n-m)!

对下降幂进行差分：

[Delta (x^{underline{m}})=(x+1)^{underline{m}}-x^{underline{m}}=(x+1)x(x-1)cdots(x-m+2)-x(x-1)cdots(x-m+1)\ =x(x-1)cdots(x-m+2)(x+1-(x-m+1))=mx(x-1)cdots(x-m+2)=mx^{underline{m-1}} ]

定义中要求 (mgeq 0)，想办法推广到一般整数的情况

[x^{underline m}=x^{underline{m-1}}(x-m+1)quadquadquad x^{underline{m-1}}=x^{underline m}/(x-m+1) ]

从 m=0 开始，那么得到定义

[x^{underline {-1}}=1/(x+1)quad x^{underline{-2}}=frac1{(x+1)(x+2)} ]

以此类推得到在一般负整数上的定义，同样也可以验证有关于差分的性质成立，比如

[Delta (x^{underline{-1}})=-1 imes x^{underline{-2}} ]

要差分得到 -1 次下降幂，需要调和级数

[Delta(H_n)=H_{n+1}-H_n=1/(n+1)=n^{underline{-1}} ]

整个系统里，由于离散化，因此定义域上会有一些坑，比如说考虑负整数的下降幂时有些奇怪的问题

• 一般来说在非负整数上处理这个问题，底数涉及到负整数要注意边界

求导/差分等于自身的函数类比：

[(e^x)'=e^x\ (c^x)'=c^xln c\ Delta(2^x)=2^{x+1}-2^x=2^x\ Delta(c^x)=c^x(c-1) ]

下降幂的二项式定理：

[(x+y)^{underline n}=sum_{k=0}^n{nchoose k}x^{underline k}y^{underline {n-k}} ]

指数的运算：(a^ma^n=a^{m+n})

下降幂根据定义，类似的性质是 (x^{underline m}(x-m)^{underline n}=x^{underline{m+n}})

再定义一个与积分运算相似的运算，定义运算的时候，期望是差分的逆运算，或满足一些互逆性质，假设

[g(x)=Delta f(x)quadquadquad g(x)=f'(x) ]

原函数：如果 (f'(x)=g(x))，那么称 (f(x)) 为 (g(x)) 的一个原函数

• (g(x)) 的不定积分为 (int f(x)dx+C)

那么定义不定和式（C是一个常数），可以类比一下不定积分（原函数）的定义

[sum g(x)delta x=f(x)+Cquadquadquadint g(x)dx=f(x)+C ]

如果 (Delta f(x)=g(x))，那么称 (g(x)) 的一个原函数为 (f(x))，(g(x)) 的不定和式 (sum g(x)delta x=f(x)+C)

[Delta(x^2)=2x+1quadquadquad sum(2x+1)delta x=x^2+C ]

与定积分相关的是和式（求和），符号的形式参考微积分的形式，定义的时候希望与微积分的定理形式一致，类比牛顿-莱布尼茨定理，我们定义和式，希望和式的定义与牛顿-莱布尼茨定理形式一样：

[int_a^bg(x)dx=f(x)|_a^b=f(b)-f(a)\ sum_a^bg(x)delta x=f(x)|^b_a=f(b)-f(a) ]

例子：

对于任意函数g(x)，设f(x)为g(x)的一个不定和式，那么

[sum_a^ag(x)delta x=f(x)|_a^a=f(a)-f(a)=0\ sum_a^{a+1}g(x)delta x=f(x)|_a^{a+1}=f(a+1)-f(a)=g(a)\ sum_a^{a+2}g(x)delta x=f(x)|_a^{a+2}=f(a+2)-f(a)=g(a)+g(a+1)\ sum_a^{b}g(x)delta x+g(b)=sum_a^{b+1}g(x)delta x ]

求和区间是左闭右开的，下界是 (a)，上界是 (b)，那么下标区间就是 ([a,b))

重写之前的一些和式

[sum_{i=1}^ni^2=sum_1^{n+1}x^2delta x\ H_n=sum_{i=1}^nfrac1i=sum_{1}^{n+1}frac1xdelta x ]

考虑定积分的区间可加性：

[int_a^bf(x)dx+int_b^cf(x)dx=int_a^cf(x)dx ]

对于求和来说，也有类似的性质：

[sum_a^bf(x)delta x+sum_b^cf(x)delta x=sum_a^cf(x)delta x ]

在做定积分的时候，可能会出现下界大于上界的情况，比如说 (a>b) 时 (int_a^b(f(x)dx)=-int_b^af(x)dx)

类似地，求和的时候可以定义 (sum_a^bf(x)delta x=-sum_b^af(x)delta x)

简单的应用：

[(x^m)'=mx^{m-1}\ int x^mdx=frac{x^{m+1}}{m+1}+C\ \ Delta(x^{underline m})=mx^{underline {m-1}}\ sum x^{underline m}delta x=frac{x^{underline{m+1}}}{m+1}+C ]

求和：

[sum_{i=0}^{n-1}i^{underline m}=sum_0^nx^{underline m}delta x=frac{x^{underline{m+1}}}{m+1}|^n_0=frac{n^{underline{m+1}}}{m+1} ]

运用在求幂次和上面

[sum_{i=0}^{n-1}i=frac{x^{underline 2}}2|^n_0=n(n-1)/2\ sum_{i=0}^{n-1}i^2=sum_{i=0}^{n-1}(i^{underline2}+i^{underline1})=(frac{x^{underline3}}{3}+frac{x^{underline2}}2)|^n_0\ i^3=i^{underline3}+3i^{underline2}+i ]

求导的链式法则在离散微积分中不好套用

• (f(g(x)))，可导一定连续，一个函数 (f) 在 (x_0) 处连续的定义是 (lim_{x ightarrow x_0}f(x)=f(x_0))

下述函数只在 (x=0) 处连续

[f(x)=cases {0, quad xin Q\ x,quad xin R-Q} ]

链式法则 ((f(g(x)))'=f'(g(x)) imes g'(x))，基础是 (dg) 和 (dx) 都趋向于0，满足求导的分母条件

• 离散微积分中，(delta x=1)，但是一般来说 (delta g eq 1)，步长与差分不一致了（实际上是一个更大的下标差）

从 (f(x)) 推导 ((1/f(x))') 这个东西也不是很方便，没办法化简

考虑一下乘积，在微积分中，有

[(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ]

在离散微积分中，尝试对乘积进行差分

[Delta(f(x)g(x))=f(x+1)g(x+1)-f(x)g(x)=f(x+1)g(x+1)-f(x)g(x+1)+f(x)g(x+1)-f(x)g(x)\ =g(x+1)Delta f(x)+f(x)Delta g(x) ]

引入移位算子E，(Ef(x)=f(x+1))，那么形式化简为 (Delta(f(x)g(x))=f(x)Delta g(x)+Delta f(x)Eg(x)=g(x)Delta f(x)+Delta g(x)Ef(x))

类比一下微积分，如果是导数做上述的事情，结果应该是（最后一步根据连续性可得）

[(f(x)g(x))'=g(x+dx)f'(x)+f(x)g'(x)=g(x)f'(x)+f(x)g'(x) ]

分部积分法：利用((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x))，同取不定积分，得到 (f(x)g(x)=int f'(x)g(x)dx+int f(x)g'(x)dx)，移项得到(int f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-int f(x)g'(x)dx)

一个例子：求 (xln x) 的不定积分，定义 (f(x)=frac12x^2)，(g(x)=ln x)，利用上述公式得到

[int xln xdx=frac12x^2ln x-int frac12x^2 imes frac1xdx=frac12x^2ln x-frac14x^2+C ]

对于离散微积分，类似的式子就是

[sum fDelta g=fg-sum EgDelta f\ sum gDelta f=fg-sum EfDelta g\ ]

例子：

[sum k2^kdelta k=k2^k-sum 2^{k+1}delta k=k2^k-2^{k+1}+C\ ]

例子（令 (f(x)=frac12x^{underline2})，(g(x)=H_x)，使用上述的第二个式子，套进去，注意到 (Delta g(x)=x^{underline{-1}}=1/(x+1))）

[sum xH_xdelta x=frac12x^{underline2}H_x-sumfrac12(x+1)^{underline2} imesfrac 1{x+1}delta x=frac12x^{underline2}H_x-sumfrac12xdelta x=frac12x^{underline2}H_x-frac14x^{underline 2}+C ]

2.7 无限和式

例子：

[S=1+1/2+1/4+1/8+cdots=2\ 2S=2+1+1/2+1/4+1/8+cdots=2+S ]

但是如果考虑的是 (T=1+2+4+8+cdots)，就不能使用上述的方式了，因为实际上结果是 (+infty)

无穷级数的定义：

[sum_{i=1}^{infty}a_i=lim_{n ightarrow+infty}sum_{i=1}^na_i\ S=sum_{i=0}^{+infty}1/2^i=lim_{n ightarrow+infty}sum_{i=0}^n1/2^i=lim_{n ightarrow+infty}(2-1/2^n)=2 ]

有可能存在极限不存在的情况，比如说 (sum_{i=0}^{+infty}(-1)^i)

尝试改变无穷多个数相加的时候的运算顺序，比如说

[1-1+1-1+1-1+cdots=(1-1)+(1-1)+(1-1)+cdots=0\ 1-1+1-1+1-1+cdots=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)+cdots=1 ]

或者考虑

[cdots-frac14-frac13-frac12+1+frac12+frac13+frac14+cdots ]

• 如果从1开始对称往外计算，那么结果就是1
• 如果按照右边两项，左边一项的顺序进行求和，那么进行 (n) 轮求和的结果就是 (1+H_{2n}-H_n)，极限是 (1+ln 2)

分析在什么时候，改变求和顺序不会影响最终的结果：假设有一串满足条件的数 (a)，使用无穷大的集合 (K) 中的元素进行索引，求的和就是 (sum_{kin K}a_k)

提取出所有的正数项和负数项，(sum_{kin K}a_k=sum_{kin K}max(0,a_k)+sum_{kin K}min(0,a_k))

因为我们希望有一个最终的确定的结果，因此两个部分都不希望跑到无穷

• 因此定义：如果 (sum_{kin K}max(0,a_k),sum_{kin K}min(0,a_k)) 的值都存在，且不为正/负无穷的话，那么称原来的 (a_k) 是绝对收敛的
• 对于求和项均为非负的情况，使用无穷级数的定义，或者说使用上确界和下确界，即最小的A，使得对任意有限集合 (Ssubseteq K)。均满足 (sum_{kin S}...leq A)
• 绝对收敛的理解：(sum_{kin K}|a_k|) 是有界的（也即极限存在）

假如说一串数 (a)，使用指标集 (K) 索引，如果和式 (sum_{kin K}a_k) 是绝对收敛的，那么任意交换求和顺序得到的结果均是相同的

• 证明与具体数学关系不大（最好对数学分析-实数完备性有一定了解）

习题 31

黎曼函数 (zeta(k))：我们用不到的在数学领域一个重要的函数

[zeta(k)=sum_{j=1}^{+infty}1/j^k ]

(e^{i heta}=cos heta+isin heta)

(c^{a+bi}=c^a imes e^{i imes(bln c)})

求和：(sum_{k=2}^{+infty}{(zeta(k)-1)})

• 因为每一项均为非负，因此可以任意交换求和顺序（有界/无界均可以）

• [sum_{k=2}^{+infty}(zeta(k)-1)=sum_{k=2}^{+infty}sum_{j=2}^{+infty}1/j^k=sum_{j=2}^{+infty}sum_{k=2}^{+infty}1/j^k=sum_{j=2}^{+infty}frac1{j(j-1)}=1 ]

习题36