题目描述
给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例:
输入:
[[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
思路
以输入为 3*3 的网格为例，其中 m=3，n=3
[1,3,1]
[1,5,1]
[4,2,1]
由于每次只能向下或者向右移动，则坐标（0，0）的最小路径就等于当前节点加上（0，1）或（1，0）的最小值，这样可以得到递归方程：
dp(0,0) = grid(0,0) + min(dp(1,0),dp(0,1))
当到达网格的边界时，下一步只能往右走或者往下走。这样可以得到这个问题的一般递归解法。
一般递归解法
class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
return minPathSumRecusion(grid, 0, 0);
}
private:
int minPathSumRecusion(vector<vector<int>>& grid, int m, int n){
if(grid.size() == 0)
return 0;
if(m == grid.size()-1 && n == grid[0].size()-1)
return grid[m][n];
if(m == grid.size()-1)
return grid[m][n]+minPathSumRecusion(grid,m,n+1);
if(n == grid[0].size()-1)
return grid[m][n]+minPathSumRecusion(grid,m+1,n);
return grid[m][n]+ min(minPathSumRecusion(grid,m+1,n), minPathSumRecusion(grid,m,n+1));
}
};
在leetcode上提交之后，不出意外的又超时了。下面先进行记忆化搜索进行优化，再进行动态规划算法的改写。
记忆化搜索递归
在得到一般递归解法后进行记忆化搜索的步骤一般比较固定，先建立每一步的索引表，然后初始化边界情况，然后在递归函数中判断索引表中的数据是否存在，如果存在则直接取出作为本次递归的值，不存在则继续进行下一步递归，递归返回时填写索引表中的相应值。
这个问题比较特殊的地方在于边界情况有稍许复杂：
- grid为0的情况
- 下一步只能往右的情况
- 下一步只能往下的情况
class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
if(grid.size() == 0)
return 0;
int m = grid.size();
int n = grid[0].size();
m_memo = vector<vector<int>>(m+1,vector<int>(n+1,0));
//初始化边界情况
for(int i = n-1; i >= 0;--i)
m_memo[m-1][i] = grid[m-1][i] + m_memo[m-1][i+1];
for(int j = m-1; j >= 0;--j)
m_memo[j][n-1] = grid[j][n-1] + m_memo[j+1][n-1];
return minPathSumRecusion(grid, 0, 0);
}
private:
int minPathSumRecusion(vector<vector<int>>& grid, int m, int n){
if(grid.size() == 0)
return 0;
if(m_memo[m][n] != 0)
{
return m_memo[m][n];
}
if(m == grid.size()-1 && n == grid[0].size()-1)
{
m_memo[m][n] = grid[m][n];
return m_memo[m][n];
}
if(m == grid.size()-1)
{
return m_memo[m][n];
}
if(n == grid[0].size()-1)
{
return m_memo[m][n];
}
m_memo[m][n] = min(grid[m][n]+minPathSumRecusion(grid,m+1,n), grid[m][n]+minPathSumRecusion(grid,m,n+1));
return m_memo[m][n];
}
vector<vector<int>> m_memo;
};
动态规划
按照上面的递归公式和记忆化搜索算法，如果把递归算法从(0，0)逐步递归得到(m,n)看作是自顶向下，那么从（m,n)开始通过循环逐步得到(0,0)就可以看作是自底向上，我们可以进一步得出此题的动态规划解法。
class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
if(grid.size() == 0)
return 0;
int m = grid.size();
int n = grid[0].size();
m_memo = vector<vector<int>>(m+1,vector<int>(n+1,0));
//初始化边界情况
for(int i = n-1; i >= 0;--i)
m_memo[m-1][i] = grid[m-1][i] + m_memo[m-1][i+1];
for(int j = m-1; j >= 0;--j)
m_memo[j][n-1] = grid[j][n-1] + m_memo[j+1][n-1];
for(int i = m-2; i >= 0;--i)
{
for(int j = n-2; j >= 0;--j)
{
m_memo[i][j] = grid[i][j] + min(m_memo[i][j+1], m_memo[i+1][j]);
}
}
return m_memo[0][0];
}
};