一、概述
1、定义：规划中变量部分或全部定义成整数是，称为整数规划。
2、分类：纯整数规划和混合整数规划。
3、特点：
（1）原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后：
a、原最优解全是整数，那最优解仍成立
b、整数规划没有可行解
c、有可行解，但是不是原最优解
4、求解方法分类
（1）分支定界法
（2）割平面法
（3）隐枚举法
（4）匈牙利法
（5）蒙特卡洛法
二、分支定界法
1、算法如下（求解整数规划最大化问题）
MATLAB实现
function r=checkint(x) %判断x(i)是不是整数了。是的话r(i)返回1，不是的话，返回0 %输入参数：x X向量 %输出参数：r R向量 for i=1:length(x) if(min(abs(x(i)-floor(x(i))),abs(x(i)-ceil(x(i))))<1e-3) r(i)=1; else r(i)=0; end end
function val=isrowinmat(arow,mat) %用来判断mat中是否包含与arow一样的向量 %输入变量：arow 向量 % mat 矩阵 %输出变量：val 1表示有，0表示没有 val=0; rows=size(mat,1); for i=1:rows temp=(mat(i,:)==arow); if length(find(temp==0))==0 val=1; return; else val=0; end; end
function [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprogdis(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % 用法 % [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint.f,A,b,Aeq,beq) % [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb) % [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) % [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) if nargin<10, options=[]; end if nargin<9, x0=[]; end if nargin<8, ub=inf*ones(size(f)); end if nargin<7, lb=zeros(size(f)); end [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options); if exitflag<=0 %表示线性规划没有最优解 return end v1=find(ifint==1); %找到需要整数规划的变量的下标 temp=x(v1);%如果不是要求整数规划的就可以返回了。 if isempty(temp) return end v2=find(checkint(temp)==0); if isempty(v2) %都是整数，得到最众解 return end k=v1(v2(1)); temp1=zeros(1,length(f)); temp1(k)=1; low=floor(x(k)); if isrowinmat([temp1,low],[A,b])==1 thisA=A; thisb=b; else thisA=[A;temp1]; thisb=b; thisb(end+1)=low; end [x1,fval1,exitflag1,output1,lambda1]=linprogdis(ifint,f,thisA,thisb,Aeq,beq,lb,ub,x0,options); temp2=zeros(1,length(f)); temp2(k)=-1; high=-ceil(x(k)); if isrowinmat([temp2,high],[A,b])==1 thisA=A; thisb=b; else thisA=[A;temp2]; thisb=b; thisb(end+1)=high; end [x2,fval2,exitflag2,output2,lambda2]=linprogdis(ifint,f,thisA,thisb,Aeq,beq,lb,ub,x0,options); if (isempty(v2) && ((exitflag1>0 && exitflag2<=0 && fval<=fval)||(exitflag2>0 && exitflag1<=0 && fval<=fval2)||(exitflag1>0 && exitflag2>0 && fval<=fval1 && fval<=fval2))) disp('error call'); return ; %表示都是整数 end if exitflag1>0&&exitflag2<=0 x=x1; fval=fval1; exitflag=exitflag1; output=output1; lambda=lambda1; elseif exitflag1<=0&&exitflag2>0 x=x2; fval=fval2; exitflag=exitflag2; output=output2; lambda=lambda2; elseif exitflag1>0 && exitflag2>0 if fval1<fval2 x=x1; fval=fval1; exitflag=exitflag1; output=output1; lambda=lambda1; else x=x2; fval=fval2; exitflag=exitflag2; output=output2; lambda=lambda2; end end
三、0-1型整数规划
1、定义：就是变量的取值只能是0-1，这样的话，其实我们可以将不同的整数规划转化成0-1规划。
2、实际问题：
这里我们就可以直接列出一个是0-1规划的方程，设的变量xi，“1”表示被选中，“0”表示没被选中
3、相互排斥的约束条件可以转化成同类型的。
四、求解整数规划的3种方法
（1）穷举法，这种比较土= =，但是最有效，而且某些情况只能穷举。
（2）过渡隐枚举法
a、先试探性求一个可行解X（随便带入求值）
b、然后根据是求极大值还是极小值，如果是求极大值，那么凡是目标值<X的解不必检验是否满足约束条件即可删除，如果是求极小值，那么凡是目标值>X不必检验是否满足约束条件就可满足。
c、改进新的过滤条件
d、然后验证目标值，最终求得。
PS：怎么说呢，这个方法就是一种变相的穷举，如果运气不好，就会变成全部都穷举，但是因为是先比较目标值，所以可以减少计算量，因而还是有效的（但是要注意不要犯反复测验的错误）、
（3）蒙特卡洛法（随机抽样法）
就是选择不穷举全部点，而是采用随机的方式来抽取样本估计整体，如果样本足够大，可信度是很大的。
例如求解此题：
MATLAB编程求解：
function [ f,g ] = mengte( x ) %MENGTE 键入整数线性规划的目标函数和约束条件 % f：指的是目标函数 向量 % g：指的是约束条件 向量 f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)^2-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-x(4)-2*x(5); g=[sum(x)-400 x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-800 2*x(1)+x(2)+6*x(3)-200 x(3)+x(4)+5*x(5)-200]; end
rand('state',sum(clock)); p0=0; tic for i=1:10^6 x=99*rand(5,1); x1=floor(x);x2=ceil(x); [f,g]=mengte(x1); if sum(g<=0)==4 if p0<=f x0=x1;p0=f; end end [f,g]=mengte(x2); if sum(g<=0)==4 if p0<=f x0=x2;p0=f; end end end x0,p0
五、0-1整数规划的求解
例如求解这个指派问题。
由于MATLAB里面有封装好的函数- -，我就不用C++再写了。。不过这个问题还是很容易写出来的，一些比赛题目也会出现的。
c=[3,8,2,10,3; 8,7,2,9,7; 6,4,2,7,5; 8,4,2,3,5; 9,10,6,9,10] c=c(:);%就是变成列向量（提取矩阵的方法） a=zeros(10,25); for i=1:5 a(i,(i-1)*5+1:1:5*i)=1; a(5+i,i:5:25)=1; end b=ones(10,1); [x,y]=bintprog(c,[],[],a,b); x=reshape(x,[5,5]),y