特别行动队-斜率优化

APIO2010特别行动队

令S为前缀和，那么n方DP：

f[i]=max{f[i],f[j]+a*(S[i]-S[j])*(S[i]-S[j])+b*(S[i]-S[j])+c};

 展开，移项得到：

f[j]+a*s[j]*s[j]=(2*a*s[i]+b)s[j]+f[i]- a*s[i]*s[i]-b*s[i]-c。

即以f[j]+a*s[j]*s[j]为y，s[j]为x的一次函数，用斜率优化。

因为斜率单调递减，所以维护一个单调递减的上凸壳即可。

IL DB Y(int x) {return (DB)f[x]+a*S[x]*S[x];}
IL DB Slope(int x,int y) {return (Y(x)-Y(y))/(DB)(S[x]-S[y]);}

while (L<R&&(DB)2*a*S[i]+b<=Slope(q[L+1],q[L])) ++L;
f[i]=f[q[L]]+a*(S[i]-S[q[L]])*(S[i]-S[q[L]])+b*(S[i]-S[q[L]])+c;
while (L<R&&Slope(i,q[R])>=Slope(q[R],q[R-1])) --R;
q[++R]=i;

其实我们也可以把常数项b与s[j]的乘积也丢到y那边，斜率就变成了2*a*s[i]，也是可以的，大家可以自己试试。