LocalMaxima

题目解析

对于(i)这个数，它要想成为LocalMaxima，比它大的要全部放到最后去，比它小的想怎么放就怎么放。所以说，这个数能成为LocalMaxima的期望就是$$(n - i)! / (n - i + 1)! = frac{1}{n - i + 1}$$, 那么总的期望就是$$sum_{i = 1}^{n} frac{1}{n - i + 1} = sum_{i = 1}^{n} frac{1}{i}$$, 于是我们就有了线性的做法，但是这显然是不合乎要求的。

我们知道， (sum_{i=1}^n frac{1}{i})这样的一个调和级数是发散的，不存在极限，但是欧拉曾经证明(sum_{i=1}^n frac{1}{i} - ln(n))是收敛的。它的极限是存在的。设这个极限是(r)，(r)被称作欧拉常数。它的近似值约(0.57721566490),于是我们有了一个求解(s)的算法，那就是(s = ln(n +1) +r)

[r = lim_{n ightarrow infty} ^ {} left ( left ( sum_{i=1}^n frac{1}{i} ight ) - ln(n) ight ) = int_1^{infty} left ( frac{1}{[x]} - frac{1}{x} ight ) dx ]

最长括号匹配

题目解析

首先我们考虑一下如何判断一个串是不是合法串。

我们只需要抽离一个经典的栈的模型，用左括号压栈，右括号弹栈，只有一个合法的压栈，弹栈序列才是合法的括号串。因为这里有两种括号，因此我们还需要增加一个匹配的条件。

假设我们用(str[0...L-1])储存括号序列，(stack)模拟栈，(stack[i])记录第(i)层栈储存的元素在(str)中的下表，top标记栈顶。

几个比较显然的性质：假设在([L,R])中出现了非法弹栈，那么对于任意区间(L le a le R)，则区间([a,b])必然是非法的，因为弹栈和压栈操作相互独立。
于是不难得出下面的模拟算法：

对于括号(str[i])对应的操作，如果是压栈，则压栈，若果是合法弹栈，就弹栈，并且更新答案。如果是非法弹栈，就立刻清空栈。最终输出答案。

Magicfingerprint

题目分析

我们有个很显然的打表算法，由于可以估算出这个序列应该比较分散，所以对于(30pts)，100kb之内是没有问题的。

我们有一个很显然的反向dfs方法，不停添加位数，然后sort一下， (On)查询一下就行了