[bzoj1911][Apio2010]特别行动队

Description

有 $n$ 个元素 $x_i$ ,可以将 $n$ 个元素分成多组,每组的元素编号必须是连续的.

设每组的 $x_i$ 为 $x$ ,则每组的价值公式为 $ax^2+bx+c$ .

求最大价值和.

Input

输入由三行组成。

第一行包含一个整数 $n$ ,表示士兵的总数.

第二行包含三个整数 $a,b,c$ ,价值公式中各项的系数.

第三行包含 $n$ 个用空格分隔的整数 $x_i$ .

Output

输出一个整数，表示最大价值和。

Sample Input

-1 10 -20

2 2 3 4

Sample Output

HINT

$1;leq;n;leq;10^6,-5;leq;a;leq;-1,|b|;leq;10^7,|c|;leq;10^7，1;leq;x_i;leq;100。$

Solution

$f[i]$ 表示前 $i$ 个的最大价值和,

$f[i]=max{f[j]+a(sum[i]-sum[j])^2+b(sum[i]-sum[j])+c}(j<i)$ .

这样是 $O(n^2)$ 的,显然过不了,所以考虑斜率优化.

当 $k>j$ 且 $f[i]_k>f[i]_j$ 时,

$f[i]_j=f[j]+a(sum[i]-sum[j])^2+b(sum[i]-sum[j])+c$

$f[i]_k=f[k]+a(sum[i]-sum[k])^2+b(sum[i]-sum[k])+c$

尽量将 $i,j$ 分离:

设 $g[i]=a; imes;sum[i]^2+b; imes;sum[i]+c$ ,

$h[j]=f[j]+a; imes;sum[j]^2-b; imes;sum[j]$

则 $f[i]_j=g[i]+h[j]-2a; imes;sum[i]; imes;sum[j]$ ,

$f[i]_k=g[i]+h[k]-2a; imes;sum[i]; imes;sum[k]$ .

$f[i]_k>f[i]_j$ 的前提条件是

$g[i]-g[i]+h[k]-h[j]-2a; imes;sum[i](sum[k]-sum[j])>0$ .

整理得, $frac{h[k]-h[j]}{sum[k]-sum[j]}>2a; imes;sum[i]$ .

令 $T(j_1,j_2)=frac{g[j_2]-g[j_1]}{sum[j_2]-sum[j_1]}$ ,

则队列中的元素满足 $T(j_1,j_2)>T(j_2,j_3)>...$

(若存在 $T(j_{i-1},j_i)<T(j_i,j_{i+1})$ ,因为 $sum[i]$ 是递增的,所以 $j_{i+1}$ 比 $j_i$ 优,即 $j_i$ 可以删去),

所以每次取元素时,将满足 $T(j_i,j_{i+1})>2a; imes;sum[i]$ 的 $j_i$ 出队(因为 $j_{i+1}$ 比 $j_i$ 优),然后取队首为 $j$ .

#include<set> 
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 1000001
using namespace std;
typedef long long ll;
ll f[N],s[N],q[N],a,b,c,n,h,t;
inline ll sqr(ll k){
    return k*k;
}
inline ll y(ll k){
    return a*sqr(s[k])+b*s[k]+c;
}
inline ll g(ll k){
    return f[k]+a*sqr(s[k])-b*s[k];
}
inline ll func(ll k){
    return a*sqr(k)+b*k+c;
} 
inline double cmp(ll p,ll q){
    return (double)(g(q)-g(p))/(double)(s[q]-s[p]);
}
inline void init(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c);
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&s[i]);
        s[i]+=s[i-1];
    }
    for(ll i=1,k;i<=n;i++){
        k=(a<<1)*s[i];
        while(h<t&&cmp(q[h],q[h+1])>k) h++;
        f[i]=f[q[h]]+func(s[i]-s[q[h]]);
        while(h<t&&cmp(q[t],i)>cmp(q[t-1],q[t]))
            t--;
        q[++t]=i;
    }
    printf("%lld
",f[n]);
}
int main(){
    freopen("commando.in","r",stdin);
    freopen("commando.out","w",stdout);
    init();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}