C++函数的递归调用
函数可以直接或间接地调用自身，称为递归调用。所谓直接调用自身，就是指在一个函数的函数体中出现了对自身的调用表达式，例如：
void fun1(void)
{
//do something
fun1(); //调用fun1自身
//do something
}
函数间接调用自身，就是通过调用其它函数的同时在其它函数中有调用了自己，例如：
void fun1(void)
{
//do something
fun2(); //调用fun1自身
//do something
}
void fun2(void)
{
//do something
fun1();
//do something
}
这里fun1调用了fun2,而fun2又调用了fun1, 于是就构成了递归。
递归算法的实质是将原有的问题分解为新的问题，而解决新问题时又用到了原有问题的解法。按照这一原则分解下去，每次出现的新问题都是原有问题的简化的子集，而最终分解出来的问题，是一个已知解的问题。
递归的过程有两个阶段：
第一个阶段：递推。 讲原问题不断分解为新的子问题，逐渐从未知向已知推进，最终达到已知的条件，即递归结束的条件，这时递推阶段结束。例如，求5！，可以这样分解：
5！= 5*4！->4！=4*3！->3! =3*2! –> 2!=2*1!->1! = 1*0!->0! =1
未知--------------------------------------------------------------------->已知
第二阶段：回归。从已知条件出发，按照递推的逆过程，逐一求值回归，最后达到递推的开始处，结束回归阶段，完成递归调用。例如，求5！的回归阶段如下：
5！= 5*4！<- 4！=4*3！<- 3! =3*2! <– 2!=2*1! <- 1! = 1*0! <- 0! =1
未知<--------------------------------------------------------------------- 已知
1.求n!的值
分析：计算n!的公式如下：
这是一个递归形式的公式，在描述"阶乘"算法时又用到了"阶乘"。递归的结束条件是 n = 0.
#include <iostream>
using namespace std;
long fac(int n)
{
long f;
if(n<0) cout<<"n<0,data error!"<<endl;
else if(n == 0) f = 1;
else f = fac(n-1)*n;
return (f);
}
void main()
{
long fac(int n); //函数声明
int n;
long y;
cout<<"Enter a positive integer: ";
cin>>n;
y = fac(n);
cout<<n<<"! = "<<y<<endl;
fflush(stdin);
getchar();
}
2.用递归法计算从n个人中选择k个人组成一个委员会的不同组合数。
分析：由n个人里选k个人的组合数 = 由（n-1)个人里选k个人的组合数 + 由（n-1)个人里选(k-1)个人的组合数。递推的结束条件是n == k || k == 0 ， 这时的组合数为1。
#include <iostream>
using namespace std;
void main()
{
int n, k;
int comm(int n , int k);
cout<<"Enter n and k :";
cin>>n>>k;
cout<<comm(n,k)<<endl;
fflush(stdin);
getchar();
}
int comm(int n, int k)
{
if(k>n) return 0;
else if(n == k || k == 0) return 1;
else
return comm(n-1,k)+comm(n-1,k-1);
}
结果：
input 18 5 output : 8568
3. 汉诺塔问题
有三根针A、B、C。A针上有n个盘子，盘子大小不等，大的在下，小的在上，如下图所示。要求把这n个盘子从A针移动到C针，在移动过程中可以借助B针，每次只充许移动一个盘子，且在移动过程中在三根针上都保持大盘在下，小盘在上。
分析:
将n个盘子从A针移动到C针可以分解为下面3个步骤：
1.将A上n-1个盘子移动到B针上（借助C针）；
2.把A针上剩下的一个盘子移动到C针上；
3.将n-1个盘子从B针移动到C针上（借助A针）
事实上，上面3个步骤包含两种操作：
1.将多个盘子从一个针移动到另一个针上，这是一个递归的过程。
2.将1个盘子从一个针上移动到另一个针上。
那么就可以用两个函数分别实现上面的两种操作，用hanoi函数实现第一种操作，用move函数实现第二种操作。
#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
void move(char getone, char putone)
{
static int i = 1;
cout<<"Step."<<setw(2)<<i<<" : "<<getone<<"-->"<<putone<<endl;
i++;
}
void hanoi(int n, char one, char two,char three)
{
void move(char getone , char putone);
if(n == 1) move(one , three);
else
{
hanoi(n-1,one,three,two);
move(one,three);
hanoi(n-1,two,one, three);
}
}
void main()
{
void hanoi(int n , char one , char two, char three);
int m;
cout<<"Enter the number of diskes : " ;
cin>>m;
cout<<"the steps to moving "<<m<<" diskes:"<<endl;
hanoi(m,'A','B','C');
fflush(stdin);
getchar();
}
运行结果：
Enter the number of diskes : 3
the steps to moving 3 diskes:
Step. 1 : A-->C
Step. 2 : A-->B
Step. 3 : C-->B
Step. 4 : A-->C
Step. 5 : B-->A
Step. 6 : B-->C
Step. 7 : A-->C
函数的参数传递
在函数为被调用时，函数的形参并不占有实际的内存空间，也没有实际的值。只有在函数被调用时才为形参分配存储单元，并将实参与形参结合。结合过程叫做参数传递，有值传递和引用传递两种方式。
1.值传递
值传递是指当发生函数调用时，给形参分配内存空间，并用实参来初始化形参（直接将实参的值传递给形参）。这一过程是参数值的单向传递过程，一旦形参获得了值便与实参脱离关系，此后无论形参发生了怎样的改变，都不会影响到实参。
#include <iostream>
using namespace std;
void swap(int a ,int b);
void main()
{
int x(5),y(10);
cout<<"x = "<<x<<" y = "<<y<<endl;
swap(x,y);
cout<<"x = "<<x<<" y = "<<y<<endl;
fflush(stdin);
getchar();
}
void swap(int a, int b)
{
int t;
t = a;
a = b;
b = t;
}
上例中，swap之前x,y分别初始化为5和10，调用swap时， 实参x,y把值传递给形参a,b 由于这里是值传递，是单向的，所以实参x,y把值5，10传递给a,b之后就跟a,b没有关系了， 在swap里面a，b借助临时变量t交换了值，但是这是a,b之间交换了值不影响x,y的值。
2.引用传递
引用是一种特殊类型的变量，可以被认为是另一个变量的别名。通过引用名与通过被引用的变量名访问变量的效果是一样的，例如：
int i,j;
int &r = i; // 建立一个int型的引用r， 并将其初始化为变量i的一个别名
j = 10;
r = j; //相当于i = j;
使用引用时需要注意两个问题：
1.声明一个引用时，必须同时对它进行初始化，使它指向一个已存在的对象。
2.一旦一个引用被初始化后，就不能改为指向其它对象。也就是说，一个引用，从它诞生之时起，就必须确定是哪个变量的别名，而且始终只能作为这个变量的别名，不能另作它用。
&放在变量前面就是引用符号
#include <iostream>
using namespace std;
void swap(int& a, int& b);
void main()
{
int x(5), y(10);
cout<<"x = "<<x<<" y = "<<y<<endl;
swap(x,y);
cout<<"x = "<<x<<" y = "<<y<<endl;
fflush(stdin);
getchar();
}
void swap(int&a , int& b)
{
int t;
t = a;
a = b;
b = t;
}
上面的例子就是引用传递可以实现x,y的值交换操作。
引用传递与值传递的区别只是函数的形参写法不同，主调函数中的调用表达式完全一样。
内联函数
函数调用时，需要保存现场和返回地址，然后转到子函数的代码起始地址去执行。子函数执行完后，又要取出先前保存的返回地址和现场状态，再继续执行。这一切都需要时间和空间方面的开销，所以频繁调用函数会降低程序的执行效率。对于一些功能简单、规模较小又使用频繁的函数，可以设计为内联函数。内联函数不是在调用时发生控制转移，而是在编译时将函数体嵌入在每个调用处。这样就节省了参数传递、控制转移等开销。
内联函数在定义时使用关键字inline， 语法形式如下：
inline 类型说明符 被调函数名（含类型说明的形参表）｛函数体语句;｝
使用内联函数时应注意：
1.内联函数体内一般不能有循环语句和switch语句；
2.内联函数的定义必须出现在第一次被调用之前；
3.对内联函数不能进行异常接口声明
通常内联函数应该是比较简单的函数，结构简单、语句少。如果将一个复杂的函数定义为内联函数，反而会造成代码膨胀，增大开销。这种情况下，多数编译器都会自动将其转换为普通函数来处理。
因此，inline关键字只是表示一个要求，编译器并不承诺将inline修饰的函数作为内联。而没有用inline修饰的函数也可能编译为内联函数。
C++中充许给函数设置默认的形参值
函数在定义时可以预先声明默认的形参值。调用时如果给出实参，则用实参初始化形参；如果没有给出实参，则采用预先声明的默认形参值。例如：
int add(int x = 5, int y = 6) // 声明默认形参值
{
return x + y;
}
void main(void)
{
add(10,20); //用实参来初始化形参，实现10+20
add(10); //形参x采用实参值10，y采用默认值6， 实现10+6
add(); //x和y都采用默认值，分别为5和6，实现5+6
}
add();
retrun (x + y);
注意：在相同的作用域内，默认形参值的说明应保持唯一，但如果在不同的作用域内，充许说明不同的默认形参，例如：
int add(int x = 1, int y = 2);
void main(void)
{
int add(int x = 3, int y = 5);
add(); //使用局部默认形参值(实现3+5)
}
void fun(void)
{
//do something
add(); //使用全局默认形参值(实现1+2)
}
C++的函数重载，就是通过调用相同的函数名来响应不同的操作。在两个以上的函数中，具有相同的函数名，但是形参的个数或类型不同，编译器根据实参和形参的类型及个数的最佳匹配，自动确定调用哪个函数，这就是函数的重载。
1.判断一个数是否为质数（质数又称为素数）
质数又称之为素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其它自然数整除的数。即只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。合数是由若干个质数相乘而得到的。
取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。
注意：n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int prime(int n);
int main()
{
int n;
cout<<"Enter an integer:";
cin>>n;
if(prime(n))
cout<<n<<"是素数"<<endl;
else
cout<<n<<"不是素数"<<endl;
fflush(stdin);
getchar();
}
int prime(int n)
{
int j,flag;
flag = 1;
for(j = 2; j<=sqrt(double(n));j++)
{
if(n % j == 0)
{
flag = 0;
break;
}
}
if(flag)
return 1;
else return 0;
}
2.求两个整数的最大公约数和最小公倍数。
最大公约数，也称为最大公因数，最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a,b的最大公约数记为（a,b),同样的，a,b,c的最大公约数记为（a,b,c),多个整数的最大公约数也有同样的记号。记号（a)表示a的约束中最大的那个数。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a,b的最小公倍数记为[a,b]。
如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个数与另一个数的关系，不能单独存在。
几个自然数，公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12，16的公约数有1，2，4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12，16） = 4.
几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：4的倍数有4，8，12，……，6的倍数有6，12，……，4和6的公倍数有12，24，……，其中最小的是12，所以[4,6] = 12.两数互质最小公倍数为两数乘积。
互质又叫互素。若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。例如8，10的最大公因数是2，不是1，因此不是整数互质。7，10，13的最大公因数是1，因此这是整数互质。下面分析两种求最大公约数的方法：
（1）求差判定法．
如果两个数相差不大，可以用大数减去小数，所得的差与小数的最大公约数就是原来两个数的最大公约数．例如：求78和60的最大公约数．78－60＝18，18和60的最大公约数是6，所以78和60的最大公约数是6．
如果两个数相差较大，可以用大数减去小数的若干倍，一直减到差比小数小为止，差和小数的最大公约数就是原来两数的最大公约数．例如：求92和16的最大公约数．92－16＝76，76－16＝60，60－16＝44，44－16＝28，28－16＝12，12和16的最大公约数是4，所以92和16的最大公约数就是4．
（2）辗转相除法．
当两个数都较大时，采用辗转相除法比较方便．其方法是：
以小数除大数，如果能整除，那么小数就是所求的最大公约数．否则就用余数来除刚才的除数；再用这新除法的余数去除刚才的余数．依此类推，直到一个除法能够整除，这时作为除数的数就是所求的最大公约数．
例如：求4453和5767的最大公约数时，可作如下除法．
5767÷4453＝1余1314
4453÷1314＝3余511
1314÷511＝2余292
511÷292＝1余219
292÷219＝1余73
219÷73＝3
于是得知，5767和4453的最大公约数是73．
辗转相除法适用比较广，比短除法要好得多，它能保证求出任意两个数的最大公约数．
而最小公倍数可以借助最大公约数来求，分两步：
1.利用辗除法或其它方法求得最大公约数
2.最小公倍数等于两数之积除以最大公约数
举例：12和8的最大公约数为4，12*8/4 = 24 那么12和8的最小公倍数为24.
C++递归版：
#include<iostream>
using namespace std;
int func(int a, int b)
{
int min, max;
max = a>b?a:b;
min = a<b?a:b;
if(max%min ==0)
return min;
else
return func(min,max%min);
}
int main()
{
int a, b;
cout<<"输入两个整数，用空格分隔，按回车结束：";
cin>>a>>b;
cout<<"这两个整数的最大公约数是："<<func(a,b)<<endl;
cout<<"这两个整数的最小公倍数是："<<((a*b)/func(a,b))<<endl;
fflush(stdin);
getchar();
}
非递归版:
#include<iostream>
using namespace std;
int func(int a, int b)
{
int min, max,r;
max = a>b?a:b;
min = a<b?a:b;
if(max%min ==0)
return min;
while(max%min != 0)
{
r=max%min;
max = min;
min =r;
}
return min;
}
int main()
{
int a, b;
cout<<"输入两个整数，用空格分隔，按回车结束：";
cin>>a>>b;
cout<<"这两个整数的最大公约数是："<<func(a,b)<<endl;
cout<<"这两个整数的最小公倍数是："<<((a*b)/func(a,b))<<endl;
fflush(stdin);
getchar();
}
运行结果：
输入两个整数，用空格分隔，按回车结束：12 8
这两个整数的最大公约数是：4
这两个整数的最小公倍数是：24
3.编写递归函数GetPower(int x, int y ) 计算x的y次幂，在主程序中实现输入输出。
int func(int x , int y)
{ static int sum = 1;
if(y ==1) sum *=x;
else sum *=func(x,y-1);
return sum;
}
这样写是不行的，如输入5，3 则输出结果为625，为什么呢？
因为sum = sum*sum*func(5,1);这里func(5,1)返回的sum会改变前面的sum值，此外这里的运算是自右向左运算的，也就是说返回的sum = 5 ,然后最右边两个sum 运算之后sum值25，然后再于剩下的sum运算，此时是25*25 所以输入5，3之后输出的结果是625.
C++版：
#include <iostream>
using namespace std;
int GetPower(int x, int y)
{
if(x == 0) return 0;
if(y == 0) return 1;
if(y == 1) return x;
if(x>1&&y>1) return (GetPower(x,y-1)*x);
}
int main()
{
int a, b;
cout<<"Input a and b:";
cin>>a>>b;
cout<<"The result is: "<<GetPower(a,b)<<endl;
fflush(stdin);
getchar();
}