tarjan LCA 算法

LCA是求最近公共祖先问题， tarjan的算法是离线算法，时间复杂度为O(n＋Q)，n为数据规模，Q为询问个数
其中用到并查集。关键是dfs的主循环比较重要。离线算法就是对每个查询，都要求以下，此算法在lrj的黑书中简单提起过，后边还有O（n）－o（1）的算法，正在研究中。。。

分类，使每个结点都落到某个类中，到时候只要执行集合查询，就可以知道结点的LCA了。
对于一个结点u，类别有　以u为根的子树、除类一以外的以f(u)为根的子树、除前两类以外的以f(f(u))为根的子树、除前三类以外的以f(f(f(u)))为根的子树……
类一的LCA为u,类二为f(u),类三为f(f(u)),类四为f(f(f(u)))。这样的分类看起来好像并不困难。但关键是查询是二维的，并没有一个确定的u。接下来就是这个算法的巧妙之处了。

利用递归的LCA过程。当lca(u)执行完毕后，以u为根的子树已经全部并为了一个集合。而一个lca的内部实际上做了的事就是对其子结点，依此调用lca.当v1(第一个子结点)被lca，正在处理v2的时候，以v1为根的子树＋u同在一个集合里，f(u)+编号比u小的u的兄弟的子树　同在一个集合里，f(f(u))　+　编号比f(u)小的　f(u)的兄弟　的子树　同在一个集合里……　而这些集合，对于v2的LCA都是不同的。因此只要查询x在哪一个集合里，就能知道LCA(v2,x)

还有一种可能，x不在任何集合里。当他是v2的儿子，v3,v4等子树或编号比ｕ大的ｕ的兄弟的子树（等等）时，就会发生这种情况。即还没有被处理。还没有处理过的怎么办？把一个查询(x1,x2)往查询列表里添加两次，一次添加到x1的列表里，一次添加到x2的列表里，如果在做x1的时候发现 x2已经被处理了，那就接受这个询问。（两次中必定只有一次询问被接受）

其他介绍：
首先，Tarjan算法是一种离线算法，也就是说，它要首先读入所有的询问（求一次LCA叫做一次询问），然后并不一定按照原来的顺序处理这些询问。而打乱这个顺序正是这个算法的巧妙之处。看完下文，你便会发现，如果偏要按原来的顺序处理询问，Tarjan算法将无法进行。　　Tarjan算法是利用并查集来实现的。它按DFS的顺序遍历整棵树。对于每个结点x，它进行以下几步操作：

* 计算当前结点的层号lv[x]，并在并查集中建立仅包含x结点的集合，即root[x]:=x。
   * 依次处理与该结点关联的询问。
   * 递归处理x的所有孩子。
   * root[x]:=root[father[x]]（对于根结点来说，它的父结点可以任选一个，反正这是最后一步操作了）。

　　现在我们来观察正在处理与x结点关联的询问时并查集的情况。由于一个结点处理完毕后，它就被归到其父结点所在的集合，所以在已经处理过的结点中（包括 x本身），x结点本身构成了与x的LCA是x的集合，x结点的父结点及以x的所有已处理的兄弟结点为根的子树构成了与x的LCA是father[x]的集合，x结点的父结点的父结点及以x的父结点的所有已处理的兄弟结点为根的子树构成了与x的LCA是father[father[x]]的集合……（上面这几句话如果看着别扭，就分析一下句子成分，也可参照右面的图）假设有一个询问(x,y)（y是已处理的结点），在并查集中查到y所属集合的根是z，那么z 就是x和y的LCA，x到y的路径长度就是lv[x]+lv[y]-lv[z]*2。累加所有经过的路径长度就得到答案。　　现在还有一个问题：上面提到的询问(x,y)中，y是已处理过的结点。那么，如果y尚未处理怎么办？其实很简单，只要在询问列表中加入两个询问(x, y)、(y,x)，那么就可以保证这两个询问有且仅有一个被处理了（暂时无法处理的那个就pass掉）。而形如(x,x)的询问则根本不必存储。　　如果在并查集的实现中使用路径压缩等优化措施，一次查询的复杂度将可以认为是常数级的，整个算法也就是线性的了。

附伪代码：
LCA(u)
{
     Make-Set(u)
     ancestor[Find-Set(u)]=u
     对于u的每一个孩子v
     {
         LCA(v)
         Union(u)
         ancestor[Find-Set(u)]=u
     }
     checked[u]=true
     对于每个(u,v)属于P
     {
         if checked[v]=true
        then {
             回答u和v的最近公共祖先为 ancestor[Find-Set(v)]
         }
     }
}
其中，makest就是建立一个集合，makeset（u ）就是建立一个只含U的集合。
findset(u)是求跟U一个集合的一个代表，一般此集合用并查集表示，也就是当前树的root节点。
union（）就是把 V节点生成的子树并入U中。
ancestor就是找跟节点，一直往上找，直至某节点的父节点是自己为止。
这样可能大家看不明白，最好的方法就是大家画个树，模拟一下，就会明白了，主要是那个dfs的尾部递归