数列的极限
- 设({x_n})为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数(epsilon)(不论它是多么的小),总存在正整数N,使得当n>N的时候,不等式(|x_n-a|<epsilon)都成立那么就称常数a是数列(|x_n|)的极限,或者称数列(|x_n|)收敛于a,记作.
已知(x_n=frac{(-1)^n}{(n+1)^2})证明数列({x_n})的极限为0.
(quad)证:(|x_n-a|=|frac{(-1)^n}{(n+1)^2}-0|=frac{1}{(n+1)^2}<frac{1}{n^2})
(forallepsilon>0)为了使(|x_n-a|<epsilon)只需:$frac{1}{n^2}<epsilon$即$n>frac{1}{sqrt[]{epsilon}}$ 这个$frac{1}{sqrt{epsilon}}$是一个确定的实数,大于$frac{1}{sqrt{epsilon}}$的正整数有无穷多个,任取其中一个为N,则当n>N的时候,就有$lim_{x ightarrowinfty}frac{(-1)^n}{(n+1)^2}=0$
函数的极限
- 设函数(f(x))在点(x_0)的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A,对任意给定的正数(epsilon)(不论它有多么的小),总存在正数(delta),使得当(x)满足不等式(0<|x-x_0|)时对应的函数值都满足不等式(|f(x)-A|<delta)那么常数A就叫做函数(f(x))当(x ightarrow x_0)的极限,记作(lim_{x ightarrow x_0}f(x)=A)或(f(x) ightarrow A(x ightarrow x_0))
上面的文字描述翻译一下就可以的到数学公式的描述:
( forall epsilon>0,quadexists delta>0,quad0<|x-x_0|<delta,quad|f(x)-A|<epsilon )
证明(lim_{x ightarrow 1}frac{x^2-1}{x-1}=2)
(扯个蛋:在这里的x=1点实际上是没有定义的,但是这里是趋近于所以并没有什么吊关系)
不等式(frac{x^2-1}{x-1}-2)可以化简为(|x+1-2|)即(|x-1|)
(quadforallepsilon>0)为了使(f(x)-A=|x-1|<epsilon)只需取$ delta=epsilon$也就是(0<|x-1|<delta).所以当(0<|x-1|<delta)的时候(lim_{x ightarrow 1}frac{x^2-1}{x-1}=2)