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《机器学习十讲》——第三讲：分类
数学知识回顾：
点到平面距离：
梯度下降法：
简介：求解无约束最优化问题的经典方法，机器学习和深度学习中应用最广泛的模型求解算法。
定义：如果实值函数g(w)在a处可微且有定义，那么函数g(w)在a处沿着梯度相反的方向-▽g(a)下降最快
优化问题：
更新参数：
随机梯度下降法：
在机器学习中，优化目标和梯度具有特定结构：
更新参数公式：
随机梯度下降法绘制出来的图像是振动的，需要调整学习率来减小振幅，最终让它趋近于0：
最大似然估计：
介绍：一种求解概率模型的参数方法。
概念：
分类：
介绍：分类是另一种典型的有监督学习问题。标签（模型预测值）y为离散值
做分类（附图示）：
线性可分训练集：
感知机：找到一条直线，将两类数据分开
支持向量机：找到一条直线，不仅将两类数据正确分类，还使得数据离直线尽量远。
逻辑回归：找到一条直线使得观察到训练集的“可能性”最大。数据离直线越远越接近于1，反之则趋近于0
训练集的矩阵表示（第二讲回顾）：
算法详细介绍：
感知机：
划出一条直线，将正负分开。当出现划分错误情况（如正值在左/负值在右），就需要进行优化，优化目标简单的说就是让划分错误的那个点尽可能地离直线近，即距离越小。
优化目标介绍：
优化目标就是L(w)函数。
感知器算法——SGD：
支持向量机：
间隔最大化。
样本损失函数：
优化目标：
非线性：核技巧
映射trick：将数据点从二维空间映射到三维空间中，使得数据线性可分
图示：
原本映射到高维会出现维度灾难问题，使得计算量复杂化。而支持向量机的好处在于映射到高维的时候，计算量仍是低维空间的计算量。
逻辑回归：
赋予样本概率解释
似然函数与负对数似然函数：
优化目标就是NLL(w)最小值。
三种模型的损失函数对比：
感知机是蓝色线，支持向量机是绿色线，逻辑回归是红色线
分类问题的评价指标：
负例0可变更为-1
SKlearn分类模块介绍：
案例——使用感知机、逻辑回归、支持向量机进行中文新闻主题分类
首先是三种分类模型的实现介绍，数据集使用sklearn的datasets模块生成一个随机的二分类数据集
#sklearn的make_classification方法：生成用于分类的随机数据集。 from sklearn import datasets random_samples = datasets.make_classification(n_samples=60, #样本数量 n_classes=2, #类别数量 n_features=2, #特征数量 n_informative=2,#有信息特征数量 n_redundant=0, #冗余特征数量 n_repeated=0, # 重复特征数量 n_clusters_per_class=1, #每一类的簇数 flip_y=0, # 样本标签随机分配的比例 class_sep=3,#不同类别样本的分散程度 random_state=203) #将数据封装到Pandas的DataFrame结构中去 import pandas as pd #两个特征：x1，x2 data = pd.DataFrame(data=random_samples[0],columns=["x1","x2"]) data["label"] = random_samples[1] data["ones"] = 1 #添加一个取值全为 1 的列 `ones` data.head()
#为了直观体现，将标签取值为0的全部替换成-1 data["label"] = data["label"].map({0:-1,1:1}) # 将 y 的取值替换成 1 和 -1 #标签取值替换好后根据标签值分离样本 data_pos = data[data["label"]==1] # 筛选出正样本 data_neg = data[data["label"]==-1] # 筛选出负样本 #使用matplotlib绘图 import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False plt.figure(figsize=(8, 8)) #设置图片尺寸 plt.scatter(data_pos["x1"],data_pos["x2"],c="#E4007F",marker="^") # 类别为1的数据绘制成洋红色 plt.scatter(data_neg["x1"],data_neg["x2"],c="#007979",marker="o") # 类别为-1的数据绘制成深绿色 plt.xlabel("$x_1$") #设置横轴标签 plt.ylabel("$x_2$") #设置纵轴标签 plt.xlim(-6,6) #设置横轴显示范围 plt.ylim(1,5) #设置纵轴显示范围 plt.show()
先在这个数据集上画一条直线看看效果：
假设决策直线方程为
#根据决策直线方程绘制直线 import numpy as np w = [1,1,-4] x1 = np.linspace(-6, 6, 50) x2 = - (w[0]/w[1])*x1 - w[2]/w[1] plt.figure(figsize=(8, 8)) #设置图片尺寸 plt.scatter(data_pos["x1"],data_pos["x2"],c="#E4007F",marker="^") # 类别为1的数据绘制成洋红色 plt.scatter(data_neg["x1"],data_neg["x2"],c="#007979",marker="o") # 类别为-1的数据绘制成深绿色 plt.plot(x1,x2,c="gray") # 画出分类直线 plt.xlabel("$x_1$") #设置横轴标签 plt.ylabel("$x_2$") #设置纵轴标签 plt.xlim(-6,6) #设置横轴显示范围 plt.ylim(1,5) #设置纵轴显示范围 plt.show()
接下来开始使用分类模型绘图：
感知机模型：
损失函数：
，M为误分类样本集合。
损失函数梯度：
随机选取一个误分类样本，对参数W的更新方法：
使用随机梯度下降法的感知机算法流程：
#编写一个函数实现感知机算法 def perception(X,y,learning_rate,max_iter=1000): w = pd.Series(data=np.zeros_like(X.iloc[0]),index=X.columns) # 初始化参数 w0 W = [w] # 定义一个列表存放每次迭代的参数 mis_samples = [] # 存放每次误分类的样本 for t in range(max_iter): # 2.1 寻找误分类集合 M m = (X.dot(w))*y #yw^Tx < 0 的样本为误分类样本 X_m = X[m <= 0] # 误分类样本的特征数据 y_m = y[m <= 0] # 误分类样本的标签数据 if(len(X_m) > 0): # 如果有误分类样本，则更新参数；如果不再有误分类样本，则训练完毕。 # 2.2 从 M 中随机选取一个样本 i i = np.random.randint(len(X_m)) mis_samples.append(X_m.iloc[i,:]) # 2.3 更新参数 w w = w + learning_rate * y_m.iloc[i]*X_m.iloc[i,:] W.append(w) else: break mis_samples.append(pd.Series(data=np.zeros_like(X.iloc[0]),index=X.columns)) return w,W,mis_samples #使用刚才生成的数据集来进行测试 ##函数使用： w_percept,W,mis_samples = perception(data[["x1","x2","ones"]], data["label"],1,max_iter=1000) #进行可视化，观察分类效果 x1 = np.linspace(-6, 6, 50) x2 = - (w_percept[0]/w_percept[1])*x1 - w_percept[2]/w_percept[1] plt.figure(figsize=(8, 8)) #设置图片尺寸 plt.scatter(data_pos["x1"],data_pos["x2"],c="#E4007F",marker="^") # 类别为1的数据绘制成洋红色 plt.scatter(data_neg["x1"],data_neg["x2"],c="#007979",marker="o") # 类别为-1的数据绘制成深绿色 plt.plot(x1,x2,c="gray") # 画出分类直线 plt.xlabel("$x_1$") #设置横轴标签 plt.ylabel("$x_2$") #设置纵轴标签 plt.title('手动实现的感知机模型') plt.xlim(-6,6) #设置横轴显示范围 plt.ylim(1,5) #设置纵轴显示范围 plt.show()
python可以通过一些函数实现动画模型，编写方法如下：
#构建动画模型 #plt.rcParams['figure.dpi'] = 120 #分辨率 fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8)) line, = ax.plot([],[],c="gray") ## 决策直线对象 dot, = ax.plot([],[],"go", linewidth=2, markersize=12,markerfacecolor='none') ## 误分类样本对象 def init_draw(): # 展现样本数据 ax.set_title("感知机训练过程") ax.scatter(data_pos["x1"],data_pos["x2"],c="#E4007F",marker="^") # 类别为1的数据绘制成洋红色 ax.scatter(data_neg["x1"],data_neg["x2"],c="#007979",marker="o") # 类别为-1的数据绘制成深绿色 plt.xlabel("$x_1$") plt.ylabel("$x_2$") plt.xlim(-6,6) plt.ylim(1,5) def update_draw(i): # 实现动画中每一帧的绘制函数，i为第几帧 ax.set_title("感知机训练过程 "+ str(i)) w = W[i] #获取当前迭代的参数 x1 = np.linspace(-6, 6, 50) x2 = - (w[0]/w[1])*x1 - w[2]/w[1] line.set_data(x1,x2) #更新决策直线绘制 dot.set_data(mis_samples[i]["x1"],mis_samples[i]["x2"]) # 更新选取的样本标记 plt.close() #演示决策面动态变化 import matplotlib.animation as animation from IPython.display import HTML animator = animation.FuncAnimation(fig, update_draw, frames= range(0,len(W)), init_func=init_draw,interval=2000) HTML(animator.to_jshtml())
最后生成是这样的，不方便全部截图，因此只截一张：
可以看到图中有个绿色点被画了圈，后续步骤就是根据这个标记点调整直线，最后的效果是上边的那个截图
逻辑回归模型：
逻辑回归的目标函数为负对数似然函数：
，梯度为
所以有两种实现方法：
#逻辑回归 ##梯度下降法 import numpy as np # 定义梯度下降法求解的迭代公式 def logistic_regression(X,y,learning_rate,max_iter=1000): # 初始化w w = np.zeros(X.shape[1]) for t in range(max_iter): # 计算yX yx = y.values.reshape((len(y),1)) * X # 计算1 + e^(yXW) logywx = (1 + np.power(np.e,X.dot(w)*y)).values.reshape(len(y),1) w_grad = np.divide(yx,logywx).sum() # 迭代w w = w + learning_rate * w_grad return w # 输出训练好的参数 w = logistic_regression(data[["x1","x2","ones"]], data["label"],0.5,max_iter=1000) print(w) # 可视化分类结果 x1 = np.linspace(-6, 6, 50) x2 = - (w[0]/w[1])*x1 - w[2]/w[1] plt.figure(figsize=(8, 8)) plt.scatter(data_pos["x1"],data_pos["x2"],c="#E4007F",marker="^") # 类别为1的数据绘制成洋红色 plt.scatter(data_neg["x1"],data_neg["x2"],c="#007979",marker="o") # 类别为-1的数据绘制成深绿色 plt.plot(x1,x2,c="gray") plt.xlabel("$x_1$") plt.ylabel("$x_2$") plt.xlim(-6,6) plt.ylim(1,5) plt.show()
##逻辑回归——随机梯度下降法 # 定义随机梯度下降法求解的迭代公式 def logistic_regression_sgd(X,y, learning_rate, max_iter=1000): # 初始化w w = np.zeros(X.shape[1]) for t in range(max_iter): # 随机选择一个样本 i = np.random.randint(len(X)) # 计算yx yixi = y[i] * X.values[i] # 计算1 + e^(yxW) logyiwxi = 1 + np.power(np.e, w.T.dot(X.values[i])*y[i]) w_grad = yixi / logyiwxi # 迭代w w = w + learning_rate * w_grad return w # 输出训练好的参数 w = logistic_regression_sgd(data[["x1","x2","ones"]], data["label"],0.5,max_iter=1000) print(w) # 可视化分类结果 x1 = np.linspace(-6, 6, 50) x2 = - (w[0]/w[1])*x1 - w[2]/w[1] plt.figure(figsize=(8, 8)) plt.scatter(data_pos["x1"],data_pos["x2"],c="#E4007F",marker="^") # 类别为1的数据绘制成洋红色 plt.scatter(data_neg["x1"],data_neg["x2"],c="#007979",marker="o") # 类别为-1的数据绘制成深绿色 plt.plot(x1,x2,c="gray") plt.xlabel("$x_1$") plt.ylabel("$x_2$") plt.xlim(-6,6) plt.ylim(1,5) plt.show()
支持向量机模型：
#支持向量机 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline # 定义函数 def linear_svm(X,y,lam,max_iter=2000): w = np.zeros(X.shape[1]) # 初始化w support_vectors = [] # 创建空列表保存支持向量 for t in range(max_iter): # 进行迭代 learning_rate = 1/(lam * (t + 1)) # 计算本轮迭代的学习率 i = np.random.randint(len(X)) # 从训练集中随机抽取一个样本 ywx = w.T.dot(X.values[i])*y[i] # 计算y_i w^T x_i if ywx < 1:# 进行指示函数的判断 w = w - learning_rate * lam*w + learning_rate * y[i] * X.values[i] # 更新参数 else: w = w - learning_rate * lam*w # 更新参数 for i in range(len(X)): ywx = w.T.dot(X.values[i])*y[i] # 计算y_i w^T x_i if ywx <= 1: # 根据样本是否位于间隔附近判断是否为支持向量 support_vectors.append(X.values[i]) return w,support_vectors ##由于线性支持向量机的正则化不包括截距项，因此需要进行归一化 # 对训练集数据进行归一化，则模型无需再计算截距项 X = data[["x1","x2"]].apply(lambda x: x - x.mean()) # 训练集标签 y = data["label"] w,support_vectors = linear_svm(X,y, lam=0.05, max_iter=5000) # 创建绘图框 plt.figure(figsize=(8, 8)) # 绘制两类样本点 X_pos = X[ y==1 ] X_neg = X[ y==-1 ] plt.scatter(X_pos["x1"],X_pos["x2"],c="#E4007F",marker="^") # 类别为1的数据绘制成洋红色 plt.scatter(X_neg["x1"],X_neg["x2"],c="#007979",marker="o") # 类别为-1的数据绘制成深绿色 # 绘制超平面 x1 = np.linspace(-6, 6, 50) x2 = - w[0]*x1/w[1] plt.plot(x1,x2,c="gray") # 绘制两个间隔超平面 plt.plot(x1,-(w[0]*x1+1)/w[1],"--",c="#007979") plt.plot(x1,-(w[0]*x1-1)/w[1],"--",c="#E4007F") # 标注支持向量 for x in support_vectors: plt.plot(x[0],x[1],"ro", linewidth=2, markersize=12,markerfacecolor='none') # 添加轴标签和限制轴范围 plt.xlabel("$x_1$") plt.ylabel("$x_2$") plt.xlim(-6,6) plt.ylim(-2,2)
简单过了一遍算法之后，我们开始进行中文新闻分类：
#读取新闻数据并显示前五行 raw_train = pd.read_csv("./input/chinese_news_cutted_train_utf8.csv",sep=" ",encoding="utf8") raw_test = pd.read_csv("./input/chinese_news_cutted_test_utf8.csv",sep=" ",encoding="utf8") raw_train.head()
#这里仅进行二分类，选择主题为科技和文化的新闻 raw_train_binary = raw_train[((raw_train["分类"] == "科技") | (raw_train["分类"] == "文化"))] raw_test_binary = raw_test[((raw_test["分类"] == "科技") | (raw_test["分类"] == "文化"))] raw_test_binary.head()
#先加载停用词表，并使用该表去除文本中的停用词 stop_words = [] file = open("./input/stopwords.txt") for line in file: stop_words.append(line.strip()) file.close() #之后将文本数据转换为词向量（第二讲内容） ##调用sklearn.feature_extraction.text的CountVectorizer from sklearn.feature_extraction.text import CountVectorizer vectorizer = CountVectorizer(stop_words=stop_words) X_train = vectorizer.fit_transform(raw_train_binary["分词文章"]) X_test = vectorizer.transform(raw_test_binary["分词文章"]) #再调用sklearn中的随机梯度下降分类器——SGDClassifier ##调整loss参数分别构建感知机，逻辑回归和线性支持向量机模型 from sklearn.linear_model import SGDClassifier ###感知机模型——loss="perceptron" percep_clf = SGDClassifier(loss="perceptron",penalty=None,learning_rate="constant",eta0=1.0,max_iter=1000,random_state=111) ###逻辑回归模型——loss="log" lr_clf = SGDClassifier(loss="log",penalty=None,learning_rate="constant",eta0=1.0,max_iter=1000,random_state=111) ###线性支持向量机模型——loss="hinge" lsvm_clf = SGDClassifier(loss="hinge",penalty="l2",alpha=0.0001,learning_rate="constant",eta0=1.0,max_iter=1000,random_state=111)
之后就是训练各个模型并得出正确率，再进行比对：
#训练感知机模型并输出分类正确率 percep_clf.fit(X_train,raw_train_binary["分类"]) round(percep_clf.score(X_test,raw_test_binary["分类"]),2)
#训练逻辑回归模型并输出分类正确率 lr_clf.fit(X_train,raw_train_binary["分类"]) round(lr_clf.score(X_test,raw_test_binary["分类"]),2)
#训练线性支持向量机模型并输出分类正确率 lsvm_clf.fit(X_train,raw_train_binary["分类"]) round(lsvm_clf.score(X_test,raw_test_binary["分类"]),2)
可以看出线性支持向量机的正确率要高一些
最后进行一下模型评估，依然是图表格式：
#模型效果评估 from sklearn.metrics import confusion_matrix import seaborn as sns import matplotlib.pyplot as plt fig, ax = plt.subplots(figsize=(5,5)) # 设置正常显示中文 sns.set(font='SimHei') # 绘制热力图 y_svm_pred = lsvm_clf.predict(X_test) # 预测标签 y_test_true = raw_test_binary["分类"] #真实标签 confusion_matrix = confusion_matrix(y_svm_pred,y_test_true)#计算混淆矩阵 ax = sns.heatmap(confusion_matrix,linewidths=.5,cmap="Blues", annot=True, fmt='d',xticklabels=lsvm_clf.classes_, yticklabels=lsvm_clf.classes_) ax.set_ylabel('真实') ax.set_xlabel('预测') ax.xaxis.set_label_position('top') ax.xaxis.tick_top() ax.set_title('混淆矩阵热力图')
#绘制三种分类模型的损失函数曲线 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline yfx = np.linspace(-4, 4, 500) perception = [0 if i >= 0 else -i for i in yfx] hinge = [(1-i) if i <= 1 else 0 for i in yfx] log = np.log2(1 + np.power(np.e,-yfx)) plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.plot(yfx,perception,c="b",label="感知机损失") plt.plot(yfx,hinge,c="g",label="合页损失(SVM)") plt.plot(yfx,log,c="red",label="对数损失(LR)") plt.hlines(1,-4,0) plt.vlines(0,0,1) plt.xlabel("$yf(x)$") plt.ylabel("$L_i(y_i,yf(x))$") plt.xlim(-4,4) plt.ylim(0,6) plt.legend()
#绘制三种分类模型的从回归到分类的映射函数 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline #创建画布并引入axisartist工具。 import mpl_toolkits.axisartist as axisartist #创建画布 fig = plt.figure(figsize=(8, 8)) fx = np.linspace(-10, 10, 500) step = [1 if i >= 0 else -1 for i in fx] tanh = np.tanh(fx) sigmoid = 1/(1 + np.power(np.e,-fx)) plt.axhline(0,-10,10,color="k") plt.axvline(0,-2,2,color="k") plt.plot(fx,step,c="b",label="step") plt.plot(fx,tanh,c="g",label="tanh") plt.plot(fx,sigmoid,c="red",label="sigmoid") plt.xlabel("$f$") plt.ylabel("$H(f)$") plt.grid(False) plt.xlim(-10, 10) plt.ylim(-2,2) plt.axis('off') plt.legend()
