快速沃尔什变换学习笔记
(如果写错了请纠正)(表达不到位请多多包涵)
(or)
令(f[i][x])表示第(i+1)位到第(n)位相同，第(1)位到第(i)位是(x)的子集的(a[y])的和
于是FMT后的数组就是 (f[n][x])
考虑如何计算(f[i][x])
如果(x)的第(i)位是(0)，那么(f[i][x]=f[i-1][x])
如果是(1)，那么(f[i][x]=f[i-1][x]+f[i-1][x-2^{i-1}])
用滚动数组优化可以做到空间复杂度(O(n))
对于第(i)层来说，相当于把整个序列分成了(2^{n-i})段
每一段中的第(i+1)位到第(n)位相同，且每段左半段第(i)位是(0)，右半段第(i)位是(1)，相当于左半段对右半段对应的位置产生了贡献
代码就很容易写出来了(_)
FMT的逆变换
与正变换类似，(f[i][x])表示第(i+1)位到第(n)位是(x)的子集，且第(1)位到第(i)位相等的(a[y])的和
如果(x)的第(i)位是(0)，那么(f[i][x]=f[i-1][x])
如果是(1)，那么(f[i][x]=f[i-1][x]-f[i-1][x-2^{i-1}])
是不是很简单(_)
(and)
与(or)的本质相同
(xor)
这个就比较难了
也叫集合的对称差卷积
定义 (h=f cdot g)
(h_S= sum_{L subseteq 2^U}sum_{R subseteq 2^U}[L oplus R=S]f_Lg_R)
首先注意到对于集合 (S) 有
(frac{1}{2^n}sum_{T subseteq 2^U} (-1)^{|S cap T|} = [ S= varnothing ])
这样
(h_S= sum_{L subseteq 2^U}sum_{R subseteq 2^U}[L oplus R oplus S = varnothing]f_L g_R)
(=sum_{L subseteq 2^U}sum_{R subseteq 2^U} frac{1}{2^n} sum_{T subseteq 2^U}(-1)^{|T cap (L oplus R oplus S)|}f_Lg_R)
(=sum_{L subseteq 2^U}sum_{R subseteq 2^U} frac{1}{2^n} sum_{T subseteq 2^U}(-1)^{|T cap L|}(-1)^{|T cap R|}(-1)^{|T cap S|}f_Lg_R)
(=frac{1}{2^n}sum_{T subseteq 2^U} (-1)^{|T cap S |} left[ sum_{L subseteq 2^U} (-1)^{|T cap L|}f_L ight] left[ sum_{R subseteq 2^U} (-1)^{|T cap R|}g_R ight])
如果我们做出如下定义
对于集合幂级数 (f) 我们定义他的快速沃尔什变换为 (hat f)
(hat {f_S} = sum_{T subseteq 2^U} f_T(-1)^{|S cap T|})
那么 (hat{f})的逆变换 (f)
(f_S =frac{1}{2^n} sum_{T subseteq 2^U} hat{f_S} (-1)^{|S cap T|})
那么我们就有
(h_S=frac{1}{2^n}sum_{T subseteq 2^U} hat{f_T} hat{g_T})
所以就有 (hat{f_S}hat{g_S}=hat{h_S})
这样就会得到(h_S=frac{1}{2^n}sum_{T subseteq 2^U} hat{h_S})
所以现在的问题是怎么求 (f) 以及 (hat{f})
同样还是 DP
令(f[i][x])表示第 (i+1) 到第 (n) 位相同，且对((-1))的指数贡献不考虑第 (i+1) 到第 (n) 的((-1)^k imes a[y]) 的和
对于第 (i) 层来说
如果第 (i) 位是 (0) ， 那么 (f[i][x]=f[i-1][x]+f[i-1][x+2^{i-1}])
如果第 (i) 位是 (1) ， 那么 (f[i][x]=f[i-1][x-2^{i-1}]-f[i-1][x])
对于第(i)层的每一段，令 (t1=f[i-1][x],t2=f[i-1][x+2^{i-1}])
那么 (f[i][x]=t1+t2)
(f[i][x+2^{i-1}]=t1-t2)
对于逆变换则把它倒回去就可以了
(f[i][x])表示 (1)到(i)位相等，对指数贡献为 ((i+1))位到(n)位的((-1)^k imes a[y])的和
如果第 (i) 位是 (0) ， 那么 (f[i][x]=frac{f[i-1][x]+f[i-1][x+2^{i-1}]}{2})
如果第 (i) 位是 (1) ， 那么 (f[i][x]=frac{f[i-1][x-2^{i-1}]-f[i-1][x]}{2})
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mm=998244353;
const int maxn=1000000;
const int inv2=499122177;
int n;
long long A[maxn];
long long B[maxn];
long long C[maxn];
void FMTor(long long *arr,int n,int f){
for(int k=1;k<n;k<<=1){
int p=k+k;
for(int i=0;i<n;i+=p){
for(int j=0;j<k;++j){
if(f==1){
arr[i+j+k]=(arr[i+j+k]+arr[i+j])%mm;
}else{
arr[i+j+k]=(arr[i+j+k]-arr[i+j]+mm)%mm;
}
}
}
}
}
void FMTand(long long *arr,int n,int f){
for(int k=1;k<n;k<<=1){
int p=k+k;
for(int i=0;i<n;i+=p){
for(int j=0;j<k;++j){
if(f==1){
arr[i+j]=(arr[i+j]+arr[i+j+k])%mm;
}else{
arr[i+j]=(arr[i+j]-arr[i+j+k]+mm)%mm;
}
}
}
}
}
void FWTxor(long long *arr,int n,int f){
for(int k=1;k<n;k<<=1){
int p=k+k;
for(int i=0;i<n;i+=p){
for(int j=0;j<k;++j){
long long x=arr[i+j],y=arr[i+j+k];
if(f==1){
arr[i+j]=(x+y)%mm;
arr[i+j+k]=(x-y+mm)%mm;
}else{
arr[i+j]=(x+y)*inv2%mm;
arr[i+j+k]=(x-y+mm)*inv2%mm;
}
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<(1<<n);++i)scanf("%lld",&A[i]);
for(int i=0;i<(1<<n);++i)scanf("%lld",&B[i]);
FMTor(A,1<<n,1);
FMTor(B,1<<n,1);
for(int i=0;i<(1<<n);++i)C[i]=A[i]*B[i]%mm;
FMTor(A,1<<n,-1);
FMTor(B,1<<n,-1);
FMTor(C,1<<n,-1);
for(int i=0;i<(1<<n);++i)printf("%lld ",C[i]);
printf("
");
FMTand(A,1<<n,1);
FMTand(B,1<<n,1);
for(int i=0;i<(1<<n);++i)C[i]=A[i]*B[i]%mm;
FMTand(A,1<<n,-1);
FMTand(B,1<<n,-1);
FMTand(C,1<<n,-1);
for(int i=0;i<(1<<n);++i)printf("%lld ",C[i]);
printf("
");
FWTxor(A,1<<n,1);
FWTxor(B,1<<n,1);
for(int i=0;i<(1<<n);++i)C[i]=A[i]*B[i]%mm;
FWTxor(A,1<<n,-1);
FWTxor(B,1<<n,-1);
FWTxor(C,1<<n,-1);
for(int i=0;i<(1<<n);++i)printf("%lld ",C[i]);
printf("
");
return 0;
}