多项式除法

多项式除法

(参考Miskcoo's Space)

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(n)次多项式 A(x)，(m)次多项式 B(x)，要求出两个多项式 (D(x))，(R(x))，满足

(A(x)=D(x)B(x)+R(x))

并且(degD<=n-m,deg<m)

定义 (A^{R}(x)=x^{n}A(frac{1}{x}))，也就是把(A(x))的系数翻转

对于式子 (A(x)=D(x)B(x)+R(x))，我们用(frac{1}{x})替换掉(x)，然后两边同时( imes x^{n})，得到

(x^{n}A(frac{1}{x})=x^{n-m}D(frac{1}{x})x^{m}B(frac{1}{x})+x^{n-m+1}x^{m-1}R(frac{1}{x}))

(A^{R}(x)=D^{R}(x)B^{R}(x)+x^{n-m+1}R^{R}(x))

(D^{R}(x))的最高次数是(n-m)，(x^{n-m+1}R^{R}(x))的最低次数是(n-m+1)

所以我们把上面的的式子放到 (\% x^{n-m+1}) 意义下，(R(x))的影响就被消除了

所以现在式子变成了(A^{R}(x)=D^{R}(x)B^{R}(x)) ((\% x^{n-m+1}))

求(B^{R}(x))的逆元( imes A^{R}(x))得到(D^{R}(x))

然后翻转过来得到(D(x))，(R(x)=A(x)-D(x)B(x))，就都求出来了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=400009;

const int mm=998244353;

long long Ksm(long long a,int p){
	long long ret=1;
	for(;p;p>>=1,a=a*a%mm){
		if(p&1)ret=ret*a%mm;
	}
	return ret;
}

int rev[maxn];
void NTT(long long *arr,int n,int f){
	int b=0;
	for(int len=1;len<n;len<<=1)++b;
	for(int i=0;i<n;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(b-1));
	for(int i=0;i<n;++i)if(i<rev[i])swap(arr[i],arr[rev[i]]);
	
	for(int k=1;k<n;k<<=1){
		int p=k+k;
		long long wn=Ksm(3LL,(mm-1)/p);
		if(f==-1)wn=Ksm(wn,mm-2);
		
		for(int i=0;i<n;i+=p){
			long long w=1;
			for(int j=0;j<k;++j,w=w*wn%mm){
				long long x=arr[i+j],y=arr[i+j+k]*w%mm;
				arr[i+j]=(x+y)%mm;
				arr[i+j+k]=(x-y+mm)%mm;
			}
		}
	}
	
	if(f==-1){
		long long inv=Ksm(n*1LL,mm-2);
		for(int i=0;i<n;++i)arr[i]=arr[i]*inv%mm;
	}
}

long long A[maxn],B[maxn],C[maxn];

void DivCon(int dg){
	if(dg==1){
		B[0]=Ksm(A[0],mm-2);
		return;
	}
	
	DivCon((dg+1)>>1);
	
	int len=1;
	for(len=1;len<(dg<<1);len<<=1);
	
	for(int i=0;i<dg;++i)C[i]=A[i];
	for(int i=dg;i<len;++i)C[i]=0;
	NTT(B,len,1);
	NTT(C,len,1);
	for(int i=0;i<len;++i)B[i]=B[i]*(2-B[i]*C[i]%mm+mm)%mm;
	
	NTT(B,len,-1);
	
	for(int i=dg;i<len;++i)B[i]=0;
}

int n,m;
long long F[maxn],G[maxn];
long long Q[maxn],R[maxn];

long long D[maxn];

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=0;i<=n;++i)scanf("%lld",&F[i]);
	for(int i=0;i<=m;++i)scanf("%lld",&G[i]);
	
	int len=0;
	for(len=1;len<=(n-m+1)*2;len<<=1);
	
	for(int i=0;i<=m;++i)A[i]=G[m-i];
	DivCon(n-m+1);
	for(int i=0;i<n-m+1;++i)D[i]=F[n-i];
	
	
	NTT(B,len,1);
	NTT(D,len,1);
	for(int i=0;i<len;++i)D[i]=B[i]*D[i]%mm;
	NTT(D,len,-1);
	
	for(int i=0;i<=n-m;++i)Q[i]=D[n-m-i];
	for(int i=0;i<=n-m;++i)printf("%lld ",Q[i]);
	printf("
");
	
	memset(D,0,sizeof(D));
	for(len=1;len<=n;len<<=1);
	NTT(G,len,1);
	NTT(Q,len,1);
	for(int i=0;i<len;++i)D[i]=G[i]*Q[i]%mm;
	NTT(D,len,-1);
	for(int i=0;i<m;++i)R[i]=(F[i]-D[i]+mm)%mm;
	
	
	for(int i=0;i<m;++i)printf("%lld ",R[i]);
	printf("
");
	
	return 0;
}

坑:不知道为什么一定存在这样的Q(x)和R(x)