DP专题

什么是动态规划

20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman(理查德.贝尔曼)等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划(Dynamic Programming)。

动态规划，其实就是将整个问题划分为许多子问题,然后对每个子问题作出决策。

基础动态规划

数字三角形

题目链接: https://www.luogu.com.cn/problem/P1216

        7 
      3   8 
    8   1   0 
  2   7   4   4 
4   5   2   6   5 

针对如上这个例子，我们如果按照贪心的思路，是(7→8→1→7→5),算出来是(28)。而(7→3→8→7→5)的结果为(30)。所以贪心是行不通的。

设置状态

定义(f[i][j])为( ext{到达第}i ext{行第}j ext{列})的最大值。

转移方程

我们从最后一层开始，由下往上走，不难得出方程:(f[i-1][j] = max(f[i][j],f[i][j+1])+a[i-1][j])

背包dp

01背包

采药: https://www.luogu.com.cn/problem/P1048

确定状态:设(f[i][j])为前(i)株草药总价值不超过(j)所获最大价值。

方程: (f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]))

由于第一维什么用也没有，所以舍掉:

优化方程: (f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+c[i]))

最终答案为(f[t])

for(int i=1;i<=n;i++)
{
      for(int j=t;j>=v[i];j--)
      {
            if(f[j - v[i]] + c[i] > f[j])f[j] = f[j - v[i]] + c[i];
      }
}

坐标型动态规划

爬楼梯: https://www.lintcode.com/problem/climbing-stairs/description

确定状态：设(f[i])为到达第(i)级楼梯的方案

对于每一层楼梯，我们可以由前一层爬一楼或前两层爬两楼。

方程: (f[i]=f[i-1]+f[i-2])

单序列动态规划

最长上升子序列: https://www.lintcode.com/problem/longest-increasing-subsequence/description

确定状态: 设(f[i])为以第(i)个结尾的最长上升子序列的长度。

方程: (f[i]=max(f[i],f[j]+1)(a[i]>a[j]))

初值: (f[i]=1)

for(int i=1;i<=n;i++)
{
	for(int j=1;j<i;j++)
	{
		if(a[i] > a[j])f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
	}
}

---

(End.)