序列傅里叶变换
三角函数
三角函数系
三角函数系,就是以下的一系列三角函数
[0(也就是sin(0x)),1(也就是cos(0x))\
sin(x),cos(x)\
sin(2x),cos(2x)\
...\
sin(nx),cos(nx)
]
三角函数的正交性
以下的积分总是成立的,我们从以上的任取两个不同的三角函数,求他们相乘之后在([-pi,pi])的积分,他们总会等于(0),例如
[int_{-pi}^{pi}sin(nx)sin(mx)dx=0,n
eq m\
int_{-pi}^{pi}sin(nx)cos(mx)dx=0,n
eq m\
int_{-pi}^{pi}cos(nx)cos(mx)dx=0,n
eq m\
]
欧拉公式
众所周知,欧拉公式如下
[e^{i heta}=cos heta+isin heta\
]
其中$i=sqrt{-1} $,
求导证明欧拉公式
[f( heta)=frac{e^{i heta}}{cos heta+isin heta}\
f'( heta)=frac{ie^{i heta}(cos heta+isin heta)-e^{i heta}(-sin heta+icos heta)}{(cos heta+isin heta)^2}\
=frac{ie^{i heta}cos heta-e^{i heta}sin heta+e^{i heta}sin heta-ie^{i heta}cos heta}{(cos heta+isin heta)^2}\
=0\
导数=0,那么函数是一个参数\
显然f( heta)=1\
所以证明完成
]
泰勒展开证明欧拉公式
[e^x=sum_{i=0}^{infty}frac{x^i}{i!}\
cosx=1-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}...\
sinx=x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}...\
所以e^{i heta}=cos heta+i*sin heta
]
三角函数变形
[1:e^{i heta}=cos heta+isin heta\
2:e^{-i heta}=cos heta-isin heta\
1-2:e^{i heta}-e^{-i heta}=2isin heta\
1+2:e^{i heta}+e^{-i heta}=2cos heta
]
最终我们可以得到
[cos heta=frac{1}{2}(e^{i heta}+e^{-i heta})\
sin heta=-frac{1}{2}i(e^{i heta}-e^{-i heta})
]
冷知识:
求解一个式子(sinx=C,Cin R).
在世俗的眼光看来,只有当(Cin [-1,1])的时候才能有解.
然而,如果(x)是虚数的话,对于任意的(Cin R)都有解.
特殊情况的傅里叶级数
如果有一个周期为(2pi)的函数,也就是$ f(x)=f(x+2pi)$.
那么它可以被转化为
[f(x)=sum_{n=0}^{infty}a_ncos(nx)+sum_{n=0}^{infty}b_nsin(nx)
]
为什么要用三角函数
- 他们有周期性
- 任意一个函数都满足(f(x)=frac{f(x)+f(-x)}{2}+frac{f(x)-f(-x)}{2}),也就是可以表达成一个偶函数和一个奇函数的和.而(sin(x))是一个奇函数,(cos(x))是一个偶函数,所以用他们可以构造出任意一个函数.
为什么要有a和b
(sin(x),cos(x))的值域在([-1,1]),非常有限,所以我们需要(a_n,b_n)来调节他的大小.
如果把(n=0)的那一项单独拿出来可以表示成
[f(x)=a_0cos(0)+b_0sin(0)+sum_{n=1}^{infty}a_ncos(nx+sum_{n=1}^{infty}b_nsin(nx)\
=a_0+sum_{n=1}^{infty}a_ncos(nx)+sum_{n=1}^{infty}b_nsin(nx)
]
如果我们对这个函数积分,最后会得到.
[a_0=frac{1}{2pi}int_{-pi}^{pi}f(x)dx
]
如果把公式改成
[f(x)==frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}a_ncos(nx)+sum_{n=1}^{infty}b_nsin(nx)
]
这里就可以写成
[a_0=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)dx
]
所以在很多地方,这个(a_0)会被写成$frac{a_0}{2} $
确定a0
由以上证明,我们可以知道
[a_0=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)dx
]
确定an和bn
(a_n)的计算,如果有一个(cos(mx),m eq n),那么
[int_{-pi}^{pi}f(x)cos(mx)dx\
=int_{-pi}^{pi}frac{a_0}{2}cos(mx)dx+int_{-pi}^{pi}sum_{n=1}^{infty}a_ncos(nx)cos(mx)dx+int_{-pi}^{pi}sum_{n=1}^{infty}sin(nx)cos(mx)dx\
=int_{-pi}^{pi}sum_{n=1}^{infty}a_ncos(nx)cos(mx)dx\
因为正交性,只有n=m的那一项不为0\
int_{-pi}^{pi}f(x)cos(nx)dx=int_{-pi}^{pi}a_ncos(nx)cos(nx)dx\
=a_npi\
a_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)cos(nx)dx
]
(b_n)的计算同理.
[b_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}g(x)sin(nx)dx
]
傅里叶级数
转换成特殊的周期
对于更一般的,如果一个函数的周期是(2L),也就是(f(t)=f(t+2L)).
考虑换元
[x=frac{pi}{L}t,t=frac{L}{pi}x
]
那么原式就变成(f(frac{L}{pi}x)=f(frac{L}{pi}x+2L)),他的周期就是(2pi)了.
假设(g(x)=f(frac{L}{pi}x)),那么根据上文,它可以转换成
[g(x)=frac{a_n}{2}+sum_{n=1}^{infty}a_ncos(nx)+sum_{n=1}^{infty}b_nsin(nx)
]
分别可以求出
[a_0=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}g(x)dx\
a_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}g(x)cos(nx)dx\
b_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}g(x)sin(nx)dx
]
最终形式
之后把(x=frac{pi}{L}t)代进去,积分是上下界是
[int_{-pi}^{pi}dx=int_{-L}^{L}dfrac{pi}{L}t\
frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}dx=frac{1}{L}int_{-L}^{L}dt
]
上面的式子就变成了
[f(t)=frac{a_n}{2}+sum_{n=1}^{infty}a_ncos(frac{npi}{L}t)+sum_{n=1}^{infty}b_nsin(frac{npi}{L}t)\
a_0=frac{1}{pi}int_{-L}^{L}f(t)dt\
a_n=frac{1}{pi}int_{-L}^{L}f(t)cos(frac{npi}{L}t)dt\
b_n=frac{1}{pi}int_{-L}^{L}f(t)sin(frac{npi}{L}t)dt\
]
其他符号
为了方便,在应用中会定义以下符号
[周期T=2L\
角速度omega=frac{pi}{L}=frac{2pi}{T}\
频率f=frac{1}{L}
]
所以傅里叶级数也可以表示成
[f(t)=frac{a_n}{2}+sum_{n=1}^{infty}a_ncos(nomega t)+sum_{n=1}^{infty}b_nsin(nomega t)\
]
复数形式的傅里叶级数
把上面的三角函数的变形代入傅里叶级数
[cos heta=frac{1}{2}(e^{i heta}+e^{-i heta})\
sin heta=-frac{1}{2}i(e^{i heta}-e^{-i heta})\
f(t)=frac{a_n}{2}+sum_{n=1}^{infty}a_ncdotfrac{1}{2}(e^{inomega t}+e^{-inomega t})-sum_{n=1}^{infty}b_ncdotfrac{1}{2}i(e^{inomega t}-e^{-inomega t})\
=f(t)=frac{a_n}{2}+sum_{n=1}^{infty}frac{a_n-ib_n}{2}e^{inomega t}+sum_{n=1}^{infty}frac{a_n-ib_n}{2}e^{-inomega t}\
=frac{a_n}{2}+sum_{n=1}^{infty}frac{a_n-ib_n}{2}e^{inomega t}+sum_{n=-infty}^{-1}frac{a_{-n}-ib_{-n}}{2}e^{inomega t}\
=sum_{i=0}^{0}frac{a_n}{2}e^{inomega t}+sum_{n=1}^{infty}frac{a_n-ib_n}{2}e^{inomega t}+sum_{n=-infty}^{-1}frac{a_{-n}-ib_{-n}}{2}e^{inomega t}\
=sum_{n=-infty}^{infty}C_ne^{inomega t}
]
计算C的值
[C_0=frac{1}{T}int_{0}^{T}f(t)dt\
C_n=frac{1}{T}int_{0}^{T}f(t)e^{-inomega t}dt,nin(0,infty)\
C_n=frac{1}{T}int_{0}^{T}f(t)e^{-inomega t}dt,nin(-infty,0)\
]
整理一下,其实
[C_n=frac{1}{T}int_{0}^{T}f(t)e^{-inomega t}dt
]
所以
[f(t)=sum_{n=-infty}^{infty}frac{1}{T}int_{0}^{T}f(t)e^{-inomega t}dtcdot e^{inomega t}
]
傅里叶变换
如果一个函数没有周期,就是说他一直不重复,即周期趋于无穷.
原本(frac{1}{T})是离散的,但是(T)趋向正无穷之后(sum_{n=-infty}^{infty}frac{1}{T})就可以当做是一个积分了,将它记做(int_{-infty}^{infty}du).
(nomega)也换成(u).
同时
[T->infty\
int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}dt->int_{-infty}^{infty}dt\
]
所以
[f(t)=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty}f(t)e^{-iut}dtcdot e^{iut}du\
]
提取出中间的积分出来
[f(t)=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}F(u)cdot e^{iut}du\
F(u)=int_{-infty}^{infty}f(t)cdot e^{-iut}dt
]
这里的(F(u))就是傅里叶变换,f(t)就是傅里叶变换的逆变换.