前缀和和差分模板(AcWing 795798)

前缀和分一维前缀和和二维前缀和，前缀和可以帮我们快速统计一段范围内的合。

需要简单的理解

一维前缀和 —— 模板题 AcWing 795. 前缀和
S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]；
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]；

二维前缀和 —— 模板题 AcWing 796. 子矩阵的和
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]；

差分需要一定的理解。

/*

给定原数组a[1],a[2],...a[n]，构造差分数组b[N],使得a[i] = b[1] + b[2]+ ...b[i],一般假定初始全为0，用insert(i, i, a[i])即可构造出b[N]
核心操作：将a[L~R]全部加上C，等价于：b[L] += C, b[R + 1] -= C*/重点

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], b[N]; // b为a的差分

// a数组中[l, r]区间内都加上c
void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    {   
        scanf("%d", &a[i]);
        insert(i, i, a[i]);
    }

    while (m--)
    {
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        insert(l, r, c);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        b[i] += b[i - 1];
        printf("%d ", b[i]);
    }

    return 0;
}

二维的差分更难理解。慢慢来吧~

前缀和差分是2个互逆的运算，假设最开始的数组是a[i], 则前缀和数组sum[i]表示从a[1]+..+a[i];而差分数组b[1]+…+b[i]则表示a[i],即a[i]是差分数组b[i]的前缀和;
所以b[i][j]表示 b[1][1]+…+b[i][j]从图上刚好构成一个矩阵,
所以当a[i][j]+c，从b数组构成的矩阵上来看就是b[i][j]这一个小矩阵加上c，画出图之后比较容易可以看出公式为：b[i][j] += c, b[i + 1][j] -= c, b[i][j + 1] -= c, b[i + 1][j + 1] += c;

中间可以并在一起写，但是为了方便初学者刚学，还是分开输入输出一步一步来暗部就按比较容易理解。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 1e3 + 40;
int a[maxn][maxn], b[maxn][maxn];

inline void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main(void) {
    int n, m, q;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);

    for(int i = 1; i <= q; i++) {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            if(j == m) printf("%d\n", b[i][j]);
            else printf("%d ", b[i][j]);




    return 0;
}