RSA 公钥加密——私钥解密

作者：刘巍然-学酥
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我们来回顾一下RSA的加密算法。我们从公钥加密算法和签名算法的定义出发，用比较规范的语言来描述这一算法。

RSA公钥加密体制包含如下3个算法：KeyGen（密钥生成算法），Encrypt（加密算法）以及Decrypt（解密算法）。

$(PK, SK)leftarrow KeyGen(lambda)$ 。密钥生成算法以安全常数 $lambda$ 作为输入，输出一个公钥PK，和一个私钥SK。安全常数用于确定这个加密算法的安全性有多高，一般以加密算法使用的质数p的大小有关。 $lambda$ 越大，质数p一般越大，保证体制有更高的安全性。在RSA中，密钥生成算法如下：算法首先随机产生两个不同大质数p和q，计算N=pq。随后，算法计算欧拉函数 $varphi(N)=(p-1)(q-1)$ 。接下来，算法随机选择一个小于 $varphi(N)$ 的整数e，并计算e关于 $varphi(N)$ 的模反元素d。最后，公钥为PK=(N, e)，私钥为SK=（N, d）。
$CT leftarrow Encrypt(PK,M)$ 。加密算法以公钥PK和待加密的消息M作为输入，输出密文CT。在RSA中，加密算法如下：算法直接输出密文为 $CT=M^e mod N$
$M leftarrow Decrypt(SK,CT)$ 。解密算法以私钥SK和密文CT作为输入，输出消息M。在RSA中，解密算法如下：算法直接输出明文为 $M=CT^d mod N$ 。由于e和d在 $varphi(N)$ 下互逆，因此我们有： $CT^d=M^{ed}=M mod N$

所以，从算法描述中我们也可以看出：公钥用于对数据进行加密，私钥用于对数据进行解密。当然了，这个也可以很直观的理解：公钥就是公开的密钥，其公开了大家才能用它来加密数据。私钥是私有的密钥，谁有这个密钥才能够解密密文。否则大家都能看到私钥，就都能解密，那不就乱套了。

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我们再来回顾一下RSA签名体制。签名体制同样包含3个算法：KeyGen（密钥生成算法），Sign（签名算法），Verify（验证算法）。

$(PK,SK) leftarrow KeyGen(lambda)$ 。密钥生成算法同样以安全常数 $lambda$ 作为输入，输出一个公钥PK和一个私钥SK。在RSA签名中，密钥生成算法与加密算法完全相同。
$sigma leftarrow Sign(SK,M)$ 。签名算法以私钥SK和待签名的消息M作为输入，输出签名 $sigma$ 。在RSA签名中，签名算法直接输出签名为 $sigma = M^d mod N$ 。注意，签名算法和RSA加密体制中的解密算法非常像。
$b leftarrow Verify(PK,sigma,M)$ 。验证算法以公钥PK，签名 $sigma$ 以及消息M作为输入，输出一个比特值b。b=1意味着验证通过。b=0意味着验证不通过。在RSA签名中，验证算法首先计算 $M'=sigma^e mod N$ ，随后对比M'与M，如果相等，则输出b=1，否则输出b=0。注意：验证算法和RSA加密体制中的加密算法非常像。

所以，在签名算法中，私钥用于对数据进行签名，公钥用于对签名进行验证。这也可以直观地进行理解：对一个文件签名，当然要用私钥，因为我们希望只有自己才能完成签字。验证过程当然希望所有人都能够执行，大家看到签名都能通过验证证明确实是我自己签的。