树状数组(二维)

问题：一个由数字构成的大矩阵，能进行两种操作
1) 对矩阵里的某个数加上一个整数（可正可负）
2) 查询某个子矩阵里所有数字的和,要求对每次查询，输出结果。

一维树状数组很容易扩展到二维，在二维情况下:数组A[][]的树状数组定义为：

C[x][y] = ∑ a[i][j], 其中，
x-lowbit(x) + 1 <= i <= x,
y-lowbit(y) + 1 <= j <= y.

例：举个例子来看看C[][]的组成。
设原始二维数组为：
　 A[][]={{a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19},
{a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29},
{a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39}，
{a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48,a49}};
那么它对应的二维树状数组C[][]呢？

记:
B[1]={a11,a11+a12,a13,a11+a12+a13+a14,a15,a15+a16,…} 这是第一行的一维树状数组
B[2]={a21,a21+a22,a23,a21+a22+a23+a24,a25,a25+a26,…} 这是第二行的一维树状数组
B[3]={a31,a31+a32,a33,a31+a32+a33+a34,a35,a35+a36,…} 这是第三行的一维树状数组
B[4]={a41,a41+a42,a43,a41+a42+a43+a44,a45,a45+a46,…} 这是第四行的一维树状数组
那么：
C[1][1]=a11,C[1][2]=a11+a12,C[1][3]=a13,C[1][4]=a11+a12+a13+a14,c[1][5]=a15,C[1][6]=a15+a16,…
这是A[][]第一行的一维树状数组

C[2][1]=a11+a21,C[2][2]=a11+a12+a21+a22,C[2][3]=a13+a23,C[2][4]=a11+a12+a13+a14+a21+a22+a23+a24,
C[2][5]=a15+a25,C[2][6]=a15+a16+a25+a26,…
这是A[][]数组第一行与第二行相加后的树状数组

C[3][1]=a31,C[3][2]=a31+a32,C[3][3]=a33,C[3][4]=a31+a32+a33+a34,C[3][5]=a35,C[3][6]=a35+a36,…
这是A[][]第三行的一维树状数组

C[4][1]=a11+a21+a31+a41,C[4][2]=a11+a12+a21+a22+a31+a32+a41+a42,C[4][3]=a13+a23+a33+a43,…
这是A[][]数组第一行+第二行+第三行+第四行后的树状数组
搞清楚了二维树状数组C[][]的规律了吗？仔细研究一下,会发现:

（1）在二维情况下，如果修改了A[i][j]=delta,则对应的二维树状数组更新函数为：

 1 void Modify(int i, int j, int delta)
 2 {
 3 
 4     A[i][j]+=delta;
 5 
 6     for(int x = i; x< A.length; x += lowbit(x))
 7         for(int y = j; y <A[i].length; y += lowbit(y))
 8         {
 9             C[x][y] += delta;
10         }
11 }

（2）在二维情况下，求子矩阵元素之和∑ a[i]j的函数为

 1 int Sum(int i, int j)
 2 {
 3     int result = 0;
 4     for(int x = i; x > 0; x -= lowbit(x))
 5     {
 6         for(int y = j; y > 0; y -= lowbit(y))
 7         {
 8             result += C[x][y];
 9         }
10     }
11     return result;
12 }

比如：
Sun(1,1)=C[1][1]; Sun(1,2)=C[1][2]; Sun(1,3)=C[1][3]+C[1][2];…
Sun(2,1)=C[2][1]; Sun(2,2)=C[2][2]; Sun(2,3)=C[2][3]+C[2][2];…
Sun(3,1)=C[3][1]+C[2][1]; Sun(3,2)=C[3][2]+C[2][2];

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 typedef long long LL;
 4 
 5 const int N = 1100;
 6 
 7 int t, n;
 8 LL bit[N][N];
 9 
10 inline int lowbit(int x) {
11     return x & (-x);
12 }
13 
14 LL Query(int x, int y) {
15     LL ans = 0;
16     for (int i = x; i > 0 ; i -= lowbit(i))
17         for (int j = y; j > 0; j -= lowbit(j))
18             ans += bit[i][j];
19     return ans;
20 }
21 
22 void Modify(int x, int y, int c) {
23     for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) 
24         for (int j = y; j < N; j += lowbit(j))
25             bit[i][j] += c;
26 }

区间修改区间查询

类比之前一维数组的区间修改区间查询，下面这个式子表示的是点(x, y)的二维前缀和：

\sum i = 1 x \sum j = 1 y \sum k = 1 i \sum h = 1 j d [h] [k]

这个式子炒鸡复杂( $O (n^{4})$

首先，类比一维数组，统计一下每个 $d [h] [k]$

那么这个式子就可以写成：

\sum i = 1 x \sum j = 1 y d [i] [j] * (x + 1 - i) * (y + 1 - j)

把这个式子展开，就得到：

(x + 1) * (y + 1) * \sum i = 1 x \sum j = 1 y d [i] [j]

- (y + 1) * \sum i = 1 x \sum j = 1 y d [i] [j] * i

- (x + 1) * \sum i = 1 x \sum j = 1 y d [i] [j] * j

+ \sum i = 1 x \sum j = 1 y d [i] [j] * i * j

那么我们要开四个树状数组，分别维护：

$d [i] [j], d [i] [j] * i, d [i] [j] * j, d [i] [j] * i * j$

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cmath>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <iostream>
 6 using namespace std;
 7 typedef long long ll;
 8 ll read(){
 9     char c; bool op = 0;
10     while((c = getchar()) < '0' || c > '9')
11         if(c == '-') op = 1;
12     ll res = c - '0';
13     while((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
14         res = res * 10 + c - '0';
15     return op ? -res : res;
16 }
17 const int N = 205;
18 ll n, m, Q;
19 ll t1[N][N], t2[N][N], t3[N][N], t4[N][N];
20 void add(ll x, ll y, ll z){
21     for(int X = x; X <= n; X += X & -X)
22         for(int Y = y; Y <= m; Y += Y & -Y){
23             t1[X][Y] += z;
24             t2[X][Y] += z * x;
25             t3[X][Y] += z * y;
26             t4[X][Y] += z * x * y;
27         }
28 }
29 void range_add(ll xa, ll ya, ll xb, ll yb, ll z){ //(xa, ya) 到 (xb, yb) 的矩形
30     add(xa, ya, z);
31     add(xa, yb + 1, -z);
32     add(xb + 1, ya, -z);
33     add(xb + 1, yb + 1, z);
34 }
35 ll ask(ll x, ll y){
36     ll res = 0;
37     for(int i = x; i; i -= i & -i)
38         for(int j = y; j; j -= j & -j)
39             res += (x + 1) * (y + 1) * t1[i][j]
40                 - (y + 1) * t2[i][j]
41                 - (x + 1) * t3[i][j]
42                 + t4[i][j];
43     return res;
44 }
45 ll range_ask(ll xa, ll ya, ll xb, ll yb){
46     return ask(xb, yb) - ask(xb, ya - 1) - ask(xa - 1, yb) + ask(xa - 1, ya - 1);
47 }
48 int main(){
49     n = read(), m = read(), Q = read();
50     for(int i = 1; i <= n; i++){
51         for(int j = 1; j <= m; j++){
52             ll z = read();
53             range_add(i, j, i, j, z);
54         }
55     }
56     while(Q--){
57         ll ya = read(), xa = read(), yb = read(), xb = read(), z = read(), a = read();
58         if(range_ask(xa, ya, xb, yb) < z * (xb - xa + 1) * (yb - ya + 1))
59             range_add(xa, ya, xb, yb, a);
60     }
61     for(int i = 1; i <= n; i++){
62         for(int j = 1; j <= m; j++)
63             printf("%lld ", range_ask(i, j, i, j));
64         putchar('
');
65     }
66     return 0;
67 }

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