复数基础知识
0：前言
此为FFT基础知识
我们以前都学过，如果一个数要开平方的话，一定要保证被开平方的数是一个正数，但是为了扩充数域，引入复数概念。
规定(sqrt{-1}=i)。
1：复数的概念
形如(z=x+iy)的数就是一个复数，其中(x)和(y)是任意的实数，分别称为复数(z)的实部和虚部。
一般来说，复数不能比大小，但是可以说两个复数相等。
2：复数的代数运算
加减就对应实部虚部相加就行了。
乘法和除法需要稍加注意。
乘法：
除法：
之后对上面做乘法就行，也就是说复数的除法要将分母实化。
同样复数满足交换律、结合律、分配律。
3：复数的几何表示
任意一个复数(z=x+y_i)都有一个与之对应的二维平面点对((x,y))。
如图所示：
其中
- (|z|=r=sqrt{x^2+y^2})，表示这个向量的模或长度。
- ( heta=arctanfrac{y}{x})表示向量所对应的幅角。
- 特殊的，当(z=0)时，幅角不确定。
- 也可以知道(x=rcos heta,y=rsin heta)。
接着我们可以得到复数的另一种表示：
即(z=re^{i heta}).
其中(e^{i heta}=cos heta+isin heta)就是大名鼎鼎的欧拉((Euler))公式。（(e)是自然对数）
值得注意的一点！！
我们说( heta)表示复数(z)的幅角，但其实幅角的表示可以不唯一。
比如说我从( heta)的位置正好逆时针旋转一圈后变成( heta+2pi)，他还是在那个位置，但是他不等于( heta)。
所以说幅角可以表示为( heta+2kpi)，其中(k)取任意整数。
既然有很多个幅角，我们可以定义一个幅角主值，也就是我们最开始的那个( heta)，不去加(2kpi)。
但是比如说(frac{pi}{2})(逆时针扫)，他同样可以用(-frac{3pi}{2})(顺时针扫)来表示。
我们规定在(x)轴上方的用逆时针扫的角度，(x)轴下方用顺时针扫的角度。
仔细理解这点，后面对复数开根号需要用到。
4：复数的幂与方根
1：复数的积与商
设有两个复数(z_1=r_1e^{i heta_1},z_2=r_2e^{i heta_2})。
所以可以得到以下两个定理：
- 两个复数乘积的模等于他们模的乘积；两个复数乘积的幅角等于他们幅角的和。
- 两个复数商的模等于他们模的商；两个复数商的幅角等于他们幅角的差。
2：复数的幂与方根
幂
首先引入一个公式：
这就是棣莫弗((De Moivre))公式。
(z^n)就是(n)个(z)乘起来，所以有：
方根（重点）
要求复数(z)的(n)次方根，实际上就是求解方程(w^n=z)，问(w)。
设
从而得到方程
解得：
所以：
当(k=0,1,2,...,n-1)时，可以得到(n)个相异的根：
为什么只有(n)个呢？因为(k)取别的整数的话，所得到的根就和上述的(n)个根重复了。
由复数的几何意义可知，最后这(n)个根就表示他们以原点为圆心，以(sqrt[n]{r})为半径在一个圆上均匀分布着。
就像这样：
这里表示有四个根，
蓝线的四个头。
来做个例题收尾吧
求(sqrt[4]{1+i})：
有：
这四个根表示以原点为圆心，以(sqrt[8]{2})为半径的圆内接正方形的四个顶点。