时间、空间复杂度推导和几种常见的时间复杂度

时间复杂度公式推导

首先假设每一行的代码执行时间是相同的

案例

def zx(n):
    sum = 0
    for i in range(n):
        sum += 1
    print(sum)

那么这个函数执行花费的时间为2n+1*time

def zx(n):
    sum = 0
    for i in range(n):
        for i in range(n):
            sum +=1
    print(sum)

这个函数的执行花费时间为$2n^2$+n+1*time

总结

$T_(n)$表示代码执行的时间，n表示数据的规模，$f_(n)$表示每行代码执行次数的总和，O表示执行花费总时间和执行代码总次数成正比

$T_(n)$=O($f_(n)$)

当n的数据规模很大的时候，案例中的个位数的代码执行次数可以忽略不计，同时低阶和系数的影响也是可以忽略的，最后得出两段代码的时间复杂度为

$T_(n)$=O(2n+1)=O(n)

$T_(n)$=O(2$n^2$+n+1)=O($n2$）

常数阶O(1)

a = 1
b = 2
c = a+b

一般情况下，只要代码的执行时间不随n的增大而增大，这样代码的时间复杂度我们就记作O(1)

对数阶O($log$n)和O（n$log$n）

def zx(n):
    i = 1
    while i <= n:
        i = i * 2
    print(i)

T(n)=O($log_2$n)=$logn$

def zx(n):
    i = 1
    while i <= n:
        i = i * 3
    print(i)

T(n)=O($log_3$n)=$logn$

def zx(n):
    for i in range(n):
        i = 1
        while i <= n:
            i = i * 2

T(n)=O(n$log_3$n)=n$logn$

与单参数时间复杂度的区别

多参数

def zx(m,n):
    sum = 0
    for i in range(m):
        sum += 1
    for i in range(n):
        sum += 1
    print(sum)

时间复杂度为T(m+n)=O(m)+O(n)=O(m+n)
单参数

def zx(n):
    sum = 0
    for i in range(n):
        sum += 1
    for i in range(n):
        sum += 1
    print(sum)

时间复杂度为T(m+n)=O(n)

O(m*n)和O(n*n)是一样的规律

空间复杂度O(1)

int i = 1
int j = 2

此算法的空间复杂度为一个常量，表示为O(1)

空间复杂度O(n)

void zx(int n){
	int [] a = new int[n];
}

我们申请了一个空间为n的int数组，而且它和参数有关，所以此段的空间复杂度为O(n)

案例1

def find(zx,x):
    for i in range(zx):
        if i == x:
            return x
    return -1

参考案例1，最好情况就是一次就找到了想要的值，那么时间复杂度就是O(1)

参考案例1，最坏的情况就是把zx列表找遍了，还是没有找到想要找的值，那么这个情况的时间复杂度就是O(n)

参考案例1，一共有n种情况是能在列表里面找到值的，还有一种情况是n中没有这个值，所以一共有n+1种情况。假设每次查找有1/2的概率是有值的，每次找到值的概率就是1/（2n）

最后时间复杂度就是O(n)

这种时间复杂度用在，大部分时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作前后有比较明显的连贯关系，这个时候我们把这一组操作放在一块分析，看能不能将较高耗时的复杂度平摊到其他时间复杂度比较低的操作上。

假设有这么一种情况，有n种情况，其中n-1种情况1次就能出结果，而第n次要n次才出结果，这是一种特殊的情况。

这个时候就是用均摊时间复杂度，直接把n-1情况下的n次，均摊到n之前的次数，那么平均下来每次都为2，时间复杂度就是O(1)